专题11.2 不等式选讲（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题11.2 不等式选讲 A组 5年高考真题 1．（2020全国Ⅲ文理23）设． （1）证明：； （2）用表示的最大值，证明：． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析． 【思路导引】（1）根据题设条件两边平方，再利用均值不等式证明即可； （2）思路一：不妨设，由题意得出， 由，结合基本不等式，即可得出证明． 思路二：假设出中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论． 【解析】（1）证明： 即 （2）证法一：不妨设，由可知，， ，， 当且仅当时，取等号，，即． 证法二：不妨设，则而 矛盾，∴命题得证． 2．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）； （2）． 【解析】（1）因为，又， 故有，∴． （2）因为为正数且，故有 =24． ∴． 3．（2019全国III文理23）设，且． （1）求的最小值； （2）若成立，证明：或． 【解析】（1）由于， 故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立． ∴的最小值为． （2）由于 ， 故由已知，当且仅当，，时等号成立，因此的最小值为． 由题设知，解得或． 4．（2017全国Ⅱ文理）已知，，，证明： (1)； (2) ． 【解析】（1）． （2）∵， ∴，因此． 5．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数． （1）画出的图像； （2）求不等式的解集． 【解析】（1）∵，作出图像，如图所示： （2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示： 由，解得，∴不等式的解集为． 6．（2016全国I文理）已知函数． （I）在图中画出的图像； （II）求不等式的解集． 【解析】(1)如图所示： (2) ，． 当，，解得或，； 当，，解得或，或； 当，，解得或，或． 7．（2020全国Ⅱ文理22）已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）或；（2）． 【思路导引】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果． 【解析】（1）当时，． 当时，，解得：； 当时，，无解； 当时，，解得：； 综上所述：的解集为或． （2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为． 8．（2019全国II文理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知 （1）当时，求不等式的解集； （2）若时，，求的取值范围． 【解析】（1）当a=1时，． 当时，；当时，，∴不等式的解集为． （2）因为，∴． 当，时， ∴的取值范围是． 9．（2018全国Ⅰ文理）已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)若时不等式成立，求的取值范围． 【解析】(1)当时，，即 故不等式的解集为． (2)当时成立等价于当时成立． 若，则当时； 若，的解集为，∴，故． 综上，的取值范围为． 10．（2018全国Ⅱ文理）设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的取值范围． 【解析】(1)当时， 可得的解集为． (2)等价于． 而，且当时等号成立．故等价于． 由可得或，∴的取值范围是． 11．（2018全国Ⅲ文理）设函数． (1)画出的图像； (2)当时，，求的最小值． 【解析】(1) 的图像如图所示． (2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5． ，或或，，解集为． 12．（2017全国Ⅰ文理）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集包含，求的取值范围． 【解析】（1）当时，不等式等价于．① 当时，①式化为，无解； 当时，①式化为，从而； 当时，①式化为，从而，∴的解集为． （2）当时，，∴的解集包含，等价于当时． 又在的最小值必为与之一，∴且，得，∴的取值范围为． 13．（2017全国Ⅲ文理）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若不等式的解集非空，求的取值范围． 【解析】（1）， 当时，无解； 当时，由得，，解得； 当时，由解得． ∴的解集为． （2）由得，而 ， 且当时，，故m的取值范围为． 14．（2016全国III文理）已知函数 （Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集； （Ⅱ）设函数，当时，，求a的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当时，． 解不等式，得，因此的解集为． （Ⅱ）当时， ，当时等号成立， ∴当时，等价于． ① 当时，①等价于，无解． 当时，①等价于，解得． ∴的取值范围是． 15．（2016全国II文理）已知函数，M为不等式的解集． （I）求M； （II）证明：当a，时，． 【解析】（I）当时，，若； 当时，恒成立； 当时，，若，． 综上可得，． （Ⅱ）当时，有，即， 则，则，即，证毕． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 第1页 /共 1页 $