专题10.2 概率与统计（解答题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题10.2 概率与统计（解答题） A组 5年高考真题 1．（2019全国III理17）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5．5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0．70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【解析】（1）由已知得，故，b=1–0．05–0．15–0．70=0．10． （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0．15+3×0．20+4×0．30+5×0．20+6×0．10+7×0．05=4．05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0．05+4×0．10+5×0．15+6×0．35+7×0．20+8×0．15=6．00． 2．（2018全国Ⅱ理）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：． (1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【解析】(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)． (2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： （ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． （ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 3．(2016新课标Ⅰ理II)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立关于的回归方程（系数精确到0．01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：，，，≈2．646． 参考公式：相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 【解析】（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 ，，， ， ． 因为与的相关系数近似为0．99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系． （Ⅱ）由及（Ⅰ）得， ． 所以，关于的回归方程为：． 将2016年对应的代入回归方程得：． 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1．82亿吨． 4．（2015新课标I理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． 46．6 563 6．8 289．8 1．6 1469 108．8 表中， =． （Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率与、的关系为．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据，，，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型． （Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于． ， 所以关于的线性