专题9.2 解析几何（解答题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题9.2 解析几何（解答题） A组 5年高考真题 1．【2020全国Ⅰ文21理20】已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为与的另一交点为． （1）求的方程； （2）证明：直线过定点． 【解析】（1）依据题意作出如下图像： 由椭圆方程可得：， ，，，，，，椭圆方程为：． （2）证明：设，则直线的方程为：，即：， 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或， 将代入直线可得：，∴点的坐标为，同理可得：点的坐标为， 直线的方程为：， 整理可得：， 整理得：，故直线过定点． 2．（2020全国Ⅱ理19）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且． （1）求的离心率； （2）设是与的公共点，若，求与的标准方程． 【解析】（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为， 联立，解得，则， 抛物线的方程为，联立， 解得，， ，即，， 即，即， ，解得，因此，椭圆的离心率为； （2）由（1）知，，椭圆的方程为， 联立，消去并整理得，解得或（舍去）， 由抛物线的定义可得，解得． 因此曲线的标准方程为，曲线的标准方程为． 3．【2019全国Ⅲ理】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B． （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积． 【答案】（1）见详解；（2）3或． 【解析】（1）设，则． 由于，∴切线DA的斜率为，故 ． 整理得 设，同理可得． 故直线AB的方程为． ∴直线AB过定点． （2）由（1）得直线AB的方程为． 由，可得． 于是， ． 设分别为点D，E到直线AB的距离，则． 因此，四边形ADBE的面积． 设M为线段AB的中点，则． 由于，而，与向量平行，∴．解得t=0或． 当=0时，S=3；当时，． 因此，四边形ADBE的面积为3或． 4．【2019全国Ⅱ理】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−．记M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G． （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）由题设得，化简得，∴C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为． 由得． 记，则． 于是直线的斜率为，方程为． 由得 ．① 设，则和是方程①的解，故，由此得． 从而直线的斜率为． ∴，即是直角三角形． （ii）由（i）得，，∴△PQG的面积． 设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号． ∵在[2，+∞）单调递减，∴当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为． 因此，△PQG面积的最大值为． 5．【2019全国Ⅰ理】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． （1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若，求|AB|． 【答案】（1）；（2）． 【解析】设直线． （1）由题设得，故，由题设可得． 由，可得，则． 从而，得．所以的方程为． （2）由可得． 由，可得．所以．从而，故． 代入的方程得，故． 6．（2018全国II文20理19）（本小题满分12分） 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点．． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 【解析】（1）由题意得，的方程为． 设，由得． ，故．． 由题设知，解得（舍去），．因此的方程为． （2）由（1）得的中点坐标为，的垂直平分线方程为，即． 设所求圆的圆心坐标为，则解得或 因此所求圆的方程为或． 7．（2017新课标Ⅰ理）已知椭圆：，四点，， ，中恰有三点在椭圆上． （1）求的方程； （2）设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点． 又由知，C不经过点，∴点在C上． 因此，解得．故C的方程为． （2）设直线与直线的斜率分别为，， 如果与轴垂直，设：，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为 （t，），（t，）． 则，得，不符合题设． 从而可设：（）．将代入得 由题设可知． 设，，则，． 而． 由题设，故． 即． 解得． 当且仅当时，，欲使：，即，∴过定点（2，）． 8．（2017新课标Ⅱ文理）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直