专题8.2 立体几何（解答题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题8.2 立体几何（解答题） A组 5年高考真题 1．（2015•新课标Ⅰ，理18）如图，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，平面，平面，，． （Ⅰ）证明：平面平面 （Ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 【解析】（Ⅰ）连接，设，连接、、，在菱形中，不妨设， 由， 可得， 平面，， 可知，又， 所以，且， 在直角中，可得，故， 在直角三角形中，可得， 在直角梯形中，由，，，可得， 从而，则， （或由， 可得，则 ，可得平面， 由平面，所以平面平面； （Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以，为轴，轴，为单位长度， 建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可得，，，，0，， ，0，，，，， 即有，，，，，， 故，． 则有直线与直线所成角的余弦值为． 2．（2018•新课标Ⅱ，理20）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：连接， ，是的中点， ，且， 又， ，， 则， 则， ， 平面； （2）建立以坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图： ，，，，0，，，2，，，0，， ，2，， 设，，， 则，，，，，，， 则平面的法向量为，0，， 设平面的法向量为，，， 则，，， 则， 令，则，， 即，，， 二面角为， ， 即， 解得或（舍， 则平面的法向量，，， ，2，， 与平面所成角的正弦值，． 3．（2016•新课标Ⅲ，理19）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：法一、如图，取中点，连接，， 为的中点， ，且， 又，，且， ，且， 则，且， 四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面； 法二、 在中，过作，垂足为，连接， 在中，由已知，，得， ， ，则， 在中， ，， 由余弦定理得：， ， 而在中，， ，即， ，则平面． 由底面，得，又， ，则平面． ， 平面平面，则平面； （2）解：在中，由，，，得． ，则， 底面，平面， 平面平面，且平面平面， 平面，则平面平面． 在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角． 在中，由是的中点，得， 在中，由，得， ． 直线与平面所成角的正弦值为． 4．（2013新课标Ⅰ，理18）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°． （Ⅰ）证明AB⊥A1C； （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，， ∵AB=，=，∴是正三角形， ∴⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵=E，∴AB⊥面， ∴AB⊥； ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB， 又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥， ∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系， 有题设知A(1，0，0)，(0，，0)，C(0，0，)，B(－1，0，0)，则=（1，0，），==(－1，0，)，=(0，－，)， ……9分 设=是平面的法向量， 则，即，可取=（，1，-1）， ∴=， ∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为． ……12分 5．（2020全国Ⅰ理18）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【思路导引】（1）要证明平面，只需证明，即可； （2）以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面的法向量为，平面的法向量为，利用公式计算即可得到答案． 【解析】（1）由题设，知为等边三角形，设，则，，∴， 又为等边三角形，则，∴，，则，∴，同理，又，∴平面． （2）过作∥交于点N，∵平面，以为坐标原点， 为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，， 设平面的一个法向量为， 由，得，令，得，∴， 设平面的一个法向量为， 由，得，令，得， ∴，故， 设二面角的大小为，则． 6．（2020全国Ⅲ理19）如图，在长方体中，点分别在棱上，且． （1）证明：点在平面内； （2）证明：若时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）二面角的正弦值为． 【思路导引】（1）连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值． 【解析】证明：（1）在上取一点