专题6.2 数列（解答题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题6.2 数列（解答题） A组 5年高考真题 1．（2020全国Ⅲ理17） 设等差数列满足． （1）计算，猜想的通项公式并加以证明； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【思路导引】（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可． 【解析】（1）由，， ，， … 猜想的通项公式为． 证明如下：（数学归纳法）当时，显然成立； （1） 假设时，即成立；其中， 由 （2） 故假设成立，综上（1）（2），∴ （2）解法一：令，则前项和 （1） 由（1）两边同乘以2得： （2） 由（1）（2）的， 化简得． 解法二：由（1）可知， ，① ，② 由①②得： ， 即． 2．（2016•新课标Ⅲ，理17）已知数列的前项和，其中． （1）证明是等比数列，并求其通项公式； （2）若，求． 【解析】（1），． ． 当时，， 即， ，．．即， 即，， 是等比数列，公比， 当时，， 即， ． （2）若， 则若， 即， 则，得． 3．（2014新课标Ⅰ，理17）已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数． (Ⅰ)证明：； （Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由． 【解析】(Ⅰ)由题设，，两式相减 ，由于，所以 …………6分 （Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知 假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得； 证明时，{}为等差数列：由知 数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列 令则，∴ 数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列 令则，∴ ∴（）， 因此，存在存在，使得{}为等差数列． 4．（2018•新课标Ⅲ，理文17）等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 【解析】（1）等比数列中，，． ， 解得， 当时，， 当时，， 的通项公式为，，或． （2）记为的前项和． 当，时，， 由，得，，无解； 当，时，， 由，得，， 解得． 5．（2014新课标Ⅱ，理17）已知数列满足=1，． （Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式； （Ⅱ）证明：． 【解析】（Ⅰ）∵，∴，即： 又，∴是以为首项，3为公比的等比数列． ∴，即 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴ ∴ 故： 6．（2019•新课标Ⅱ，理19）已知数列和满足，，，． （1）证明：是等比数列，是等差数列； （2）求和的通项公式． 【解析】（1）证明：，； ，； 即，； 又，， 是首项为1，公比为的等比数列， 是首项为1，公差为2的等差数列； （2）由（1）可得：， ； ，． 7．（2016•新课标Ⅱ，理17）为等差数列的前项和，且，，记，其中表示不超过的最大整数，如，． （Ⅰ）求，，； （Ⅱ）求数列的前1000项和． 【解析】（Ⅰ）为等差数列的前项和，且，，． 可得，则公差． ， ，则， ， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，． ，． 数列的前1000项和为：． 8．（2011新课标，理17）等比数列{}的各项均为整数，且=1，=， （Ⅰ）求数列{}的通项公式； （Ⅱ）设=，求数列{}的前项和． 【解析】（Ⅰ）设数列{}的公比为，由=得=，所以=， 由条件可知＞0，故=． 由=1得=1，所以=， 故数列{}的通项公式为=． （Ⅱ）=== 故==， == 所以数列{}的前项和为． B组 能力提升 9．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，，求数列的前项和. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 （Ⅰ）设数列的公比为，由题意及，知. 、、成等差数列成等差数列，，， 即，解得或（舍去），. 数列的通项公式为； （Ⅱ）， . 10．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知数列的前n项和为，且n、、成等差数列，. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值. 【答案】（1）证明见解析，；（2）11202. 【解析】 （1）证明：因为n，，成等差数列，所以，① 所以.② ①－②，得，所以. 又当时，，所以，所以， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即. （2）根据（1）求解知，，，所以， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 又因为，，，，，，，， ，，， 所以 . 11．（2020届江西师范大学附属中学高三一模）已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）∵， ∴， ∴， 即，∴， ∴， ∴． （2）． =2·-λ（2n+1）． ∵数列为递增数列，