专题6.1 数列（选填题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题6.1 数列（选填题） A组 5年高考真题 1．（2020全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） （ ） A．块 B．块 C．块 D．块 【答案】C 【思路导引】第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列， 设为的前项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到． 【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即，即，解得，所以，故选C． 2．（2019•新课标Ⅰ，理9）记为等差数列的前项和．已知，，则　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为，由，，得，， ，，故选． 3．（2018•新课标Ⅰ，理4）记为等差数列的前项和．若，，则　　 A． B． C．10 D．12 【答案】B 【解析】为等差数列的前项和，，，，把，代入得，，故选． 4．（2017•新课标Ⅰ，理4）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】由题知，，解得，，故选． 5．（2017•新课标Ⅲ，理9）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为　　 A． B． C．3 D．8 【答案】A 【解析】等差数列的首项为1，公差不为0．，，成等比数列，， ，且，，解得，前6项的和为，故选． 6．（2020全国Ⅱ理6）数列中，，，若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路导引】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值． 【解析】在等式中，令，可得，， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， ， ，则，解得．故选：C． 7．（2019•新课标Ⅲ，理5）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有 ，，，故选． 8．（2017•新课标Ⅰ，理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学 的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已 知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是，接下来的两项是，， 再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为 2的整数幂．那么该款软件的激活码是　　 A．440 B．330 C．220 D．110 【解析】设该数列为，设，，则， 由题意可设数列的前项和为，数列的前项和为，则 ，可知当为时，数列的前项和为数列 的前项和，即为，容易得到时，， 项，由，，可知，故项符合题意． 项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意． 项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意． 项，仿上可知，可知，显然不为2的整数幂，故项不符合题意． 故选． 9．（2016•新课标Ⅲ，理12）定义“规范01数列” 如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，，，，中0的个数不少于1的个数，若，则不同的“规范01数列”共有　　 A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 【答案】C 【解析】由题意可知，“规范01数列”有偶数项项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若，说明数列有8项，满足条件的数列有： 0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1； 0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1； 0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个，故选． 10．（2017•新课标Ⅱ，理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯