专题4.2 三角函数与解三角形（解答题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题4.2 三角函数与解三角形（解答题） A组 5年高考真题 1．（2020全国Ⅱ理17）中，． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得； （2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果． 【解析】（1）由正弦定理可得：，， ，． （2）由余弦定理得：， 即． （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为． 2．（2019•新课标Ⅰ，理17）的内角，，的对边分别为，，．设． （1）求； （2）若，求． 【解析】（1）的内角，，的对边分别为，，． 设． 则， 由正弦定理得：， ， ，． （2），， 由正弦定理得， 解得，，， ． 3．（2019•新课标Ⅲ，理（文）18）的内角、、的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【解析】（1），即为， 可得， ， ， 若，可得，不成立， ， 由，可得； （2）若为锐角三角形，且， 由余弦定理可得， 由三角形为锐角三角形，可得且， 解得， 可得面积，． 4．（2017新课标卷1，理17）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为． （1）求； （2）若，，求的周长． 【解析】（1）面积．且 由正弦定理得， 由得． （2）由（1）得， 又 ，， 由余弦定理得 ① 由正弦定理得， ② 由①②得 ，即周长为 5．（2017新课标卷2，理17）的内角所对的边分别为，已知， （1）求； （2）若，的面积为，求． 【解析】（1）由题设及，故 上式两边平方，整理得 解得 （2）由，故 又 由余弦定理及得 所以b=2 6．（2017新课标卷3，理17）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． （1）求c； （2）设为边上一点，且，求的面积． 【解析】（1）由得， 即，又， ∴，得． 由余弦定理．又∵代入并整理得，故． （2）∵， 由余弦定理． ∵，即为直角三角形， 则，得． 由勾股定理． 又，则， ． 7．（2016新课标卷1，理17）的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知 （I）求C； （II）若的面积为，求的周长． 【解析】（I）由正弦定理及得，，即，即，因为，所以，所以，所以． （II）由余弦定理得： ∴ ∴ ∴周长为 8．（2013新课标Ⅱ，理17）△ABC内角A，B，C的对边分别为，，，已知=． （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若=2，求△ABC面积的最大值． 【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理得，① 又， ∴=， 即， ∵∴， ∴， ∵，∴． （Ⅱ）△ABC的面积S==， 由已知及余弦定理得．， ∵， 故，当且仅当时，取等号， ∴△ABC面积的最大值为． 9．（2012新课标，理17）已知，，分别为三个内角，，的对边，． (Ⅰ)求； (Ⅱ)若=2，的面积为，求，． 【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得 ， 因为，所以 由于，所以， 又，故． (Ⅱ) 的面积==，故=4， 而 故=8，解得=2． 10．（2018•新课标Ⅰ，理17）在平面四边形中，，，，． （1）求； （2）若，求． 【解析】（1），，，． 由正弦定理得：，即， ， ，， ． （2），， ， ． 11．（2015•新课标Ⅱ，理17）中，是上的点，平分，面积是面积的2 倍． （1）求； （2）若，，求和的长． 【解析】（1）如图，过作于， ， 平分 在中，， 在中，，； ．分 （2）由（1）知，． 过作于，作于， 平分， ， ， ， 令，则， ， ， 由余弦定理可得：， ， ， 的长为，的长为1． 12．（2013新课标Ⅰ，理17）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90° (1)若PB=，求PA； (2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA 【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=， ∴∠PBA=30o， 在△PBA中，由余弦定理得==， ∴PA=； （Ⅱ）设∠PBA=，由已知得， PB=， 在△PBA中，由正弦定理得，， 化简得，， ∴=， ∴=． B组 能力提升 13．（2020·福建省厦门市高三质检（理）已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）， 由得 所以的单调递减区间为； （2）由正弦定理得， ∵∴， 即， ， 得，或， 解得，或（舍）， ∵为锐角三角形， ∴解得 ∴ ∴的取值范围为。 14．（2020·河南省安阳市高三一模（理）如图，在平面四边形ABCD中，，，，. （1）求的面积的最大值， （2）在的面积取得最大值的条件下，若，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析