专题3.2 导数的应用（解答题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题3.2 导数的应用（解答题） A组 5年高考真题 1．（2019全国Ⅰ理20）已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【解析】（1）设，则，． 当时，单调递减，而， 可得在有唯一零点，设为． 则当时，；当时，． 所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点． （2）的定义域为． （i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点． （ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减． 又，，所以当时，． 从而 在没有零点． （iii）当时，，所以在单调递减．而，，所以在有唯一零点． （iv）当时，，所以<0，从而在没有零点． 综上，有且仅有2个零点． 2．（2019全国Ⅱ理20）已知函数． （1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线． 【解析】（1）f（x）的定义域为． 因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f（e）=，， 所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0． 又，， 故f（x）在（0，1）有唯一零点． 综上，f（x）有且仅有两个零点． （2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上． 由题设知，即， 故直线AB的斜率． 曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是， 所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线． 3．（2018全国卷2理21）已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求． 【解析】（1）当时，等价于， 设函数，则， 当时，，所以在单调递减， 而，故当时，，即． （2）设函数，在只有一个零点当且仅当在只有一个零点． 当时，，没有零点； 当时，． 当时，；当时，． 在单调递减，在单调递增． 故是在的最小值． ①若，即，在没有零点； ②若，即，在只有一个零点； ③若，即，由于，所以在有一个零点， 由（1）知，当时，，所以． 故在有一个零点，因此在有两个零点． 综上，在只有一个零点时，． 4．（2014全国卷2理21）已知函数= （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设，当时，，求的最大值； （Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0．001） 【解析】（Ⅰ）∵，当且仅当=0时取等号，∴在上单调递增． （Ⅱ）=， == 1. 当≤2时，≥0，当且仅当=0时取等号，∴在上单调递增，∴当＞0时，＞； 1. 当＞2时，若满足，即时，＜0，此时，在（0，）是减函数，当时，＜=0， 综上所述，的最大值为2． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，=， 当=2时，=＞0，解得＞＞0．6928． 当=时，=， =＜0，∴＜＜0．6934，∴的近似值为0．693． 5．(2016年全国Ⅱ)(I)讨论函数的单调性，并证明当时，； (II)证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域． 【解析】（I）证明： ∵当时， ∴在上单调递增 ∴时， ∴ （Ⅱ）， 由（Ⅰ）知，单调递增，对任意的，， ，因此，存在唯一，使得，即 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 因此在处取得最小值，最小值为 ． 于是，由，得单调递增． 所以，由，得， 因为单调递增，对任意的，存在唯一的， ，使得，所以的值域为． 综上，当时，有最小值，的值域为． 6．(2016年全国Ⅲ) 设函数，其中， 记的最大值为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求； （Ⅲ）证明． 【解析】（Ⅰ）． （Ⅱ）当时， 因此，． 当时，将变形为． 令，则是在上的最大值， ，，且当时，取得极小值， 极小值为． 令，解得（舍去），． （ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以． （ⅱ）当时，由，知． 又，所以． 综上，． （Ⅲ）由（Ⅰ）得． 当时，． 当时，，所以． 当时，，所以． 7．（2015新课标2文21）已知函数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围． 【解析】（Ⅰ）的定义域为，． 若，则，所以在单调递增． 若，则当时，；当时，．所以在单调递增，在单调递减． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上无最大值；当时，在取得最大值，最大值为． 因此等价于． 令，则在单调递增，． 于是，当时，；当时，． 因此的取值范围是． 8．(2015新课标Ⅱ理21）设函数． (Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增； (Ⅱ)若对于任意，，都有，求的取值范围． 【解析】(Ⅰ)． 若，则当时，，； 当时，，． 若，则当时，，； 当时，，． 所以，在单调递减，在单调递增． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的，在单调递减，在单调递增． 故在处取得最小值． 所以对于任