专题1 平面向量的运算（知识点串讲）- 2020-2021学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019·浙江）

2020-2021学年高一数学下学期期末考点大串讲（新教材·浙江） 专题1 平面向量的运算 【知识网格】 【知识讲练】 知识点一 平面向量的概念 名称 定义 记法 零向量 长度为__0__的向量叫做零向量 0 单位向量 长度等于__1__个单位的向量，叫做单位向量 相等向量 __长度__相等且方向相同的向量叫做相等向量 __a＝b__ 说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条__有向线段__来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量 平行 向量 方向__相同__或__相反__的非零向量叫做平行向量 __a∥b__ 规定：零向量与任何向量都__平行__ 0∥a 说明：任一组平行向量都可以平移到同一__直线__上，因此，平行向量也叫__有线__向量 例1.（2021·全国高一课时练习）给出下列命题：①向量 与 是相等向量；②共线的单位向量是相等向量；③模为零的向量与任一向量共线；④两平行向量所在直线互相平行．其中不正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式训练1-1】（2021·全国高一课时练习）下列命题正确的是（ ） A． 与 共线， 与 共线，则 与 也共线 B．单位向量都相等 C．向量 与 不共线，则 与 都是非零向量 D．共线向量一定在同一直线上 【变式训练1-2】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一月考）给出下列命题： ①零向量的长度为零，方向是任意的； ②若 ， 都是单位向量，则 ； ③若 ，则 或 ； 则所有正确命题的号是（ ） A．③ B．① C．①③ D．①② 【方法技巧】 对平行向量、相等向量概念的理解 (1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”． (2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的． (3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量． 例2 知识点二 平面向量的加法 1．向量的加法 (1)定义：求两个向量__和__的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个__向量__． (2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a、b，在平面内任取一点，作eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量　eq \o(AC,\s\up6(→))　叫做向量a与b的和，记作a＋b.这种求__向量和__的方法叫做向量加法的三角形法则． (3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图乙所示)，作eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AD,\s\up6(→))＝b，则A、B、D三点不共线，以eq \o(AB,\s\up6(→))、eq \o(AD,\s\up6(→))为邻边作平行四边形ABCD，则向量　eq \o(AC,\s\up6(→))　＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 2．向量加法的交换律：a＋b＝b＋a. 3．向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 例2.（2021·全国高一课时练习）如图，已知点 、 、 分别是 三边 、 、 的中点，求证： . 【变式训练2-1】（2021·全国高一课时练习） __. 【变式训练2-2】（2021·全国高一课时练习）作五边形 ，求作下列各题中的和向量： （1） ； （2） . 【方法技巧】 平面向量运算中化简的两种方法： (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量． (2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简． 知识点三 平面向量的减法 1．相反向量 定义 如果两个向量长度__相等__，而方向__相反__那么称这两个向量是相反向量 性质 ①对于相反向量有：a＋(－a)＝　0　 ②若a、b互为相反向量，则a＝　－b　，a＋b＝　0　 ③零向量的相反向量仍是零向量 2．向量的减法 定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__ 作法 在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝　eq \o(BA,\s\up6(→))　.如图所示 几何 意义 如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a