6．3 平面向量基本定理及坐标表示（思维导图+5大知识点+12大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第二册）

6．3 平面向量基本定理及坐标表示 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：平面向量基本定理 4 知识点二：平面向量的正交分解及坐标表示 4 知识点三：平面向量的坐标运算 5 知识点四：向量数量积的坐标表示 5 知识点五：向量在几何中的应用 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：平面向量基本定理的概念理解 7 题型二：利用基底表示目标向量 7 题型三：平面向量的坐标化表示 8 题型四：平面向量加减运算的坐标形式 9 题型五：平面向量数乘运算的坐标形式 9 题型六：向量共线的判断与证明 10 题型七：依据向量共线坐标关系求解参数 11 题型八：定比分点坐标公式及其应用 11 题型九：数量积的坐标运算方法 11 题型十：平面向量模长的计算 12 题型十一：平面向量的夹角与垂直问题 12 题型十二：平面向量数量积的综合运用 13 知识点一：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2、基底的性质 不唯一性:基底不唯一,任何两个不共线的向量都可以作为基底。 唯一分解: 对于给定的基底,向量的分解形式是唯一的 唯一确定)。 零向量限制:零向量不能作为基底向量,因为它与任何向量共线。 知识点二：平面向量的正交分解及坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识点三：平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 2、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 知识点四：向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 知识点五：向量在几何中的应用 （1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 （2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件 （3）求夹角问题，利用 （4）求线段的长度，可以利用或 题型一：平面向量基本定理的概念理解 【例1】如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 【变式1-1】设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型二：利用基底表示目标向量 【例2】如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，点D是的中点，点E在边上，且满足，交于点F，设，则（   ） A． B． C． D．1 【变式2-2】如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 题型三：平面向量的坐标化表示 【例3】，，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 题型四：平面向量加减运算的坐标形式 【例4】已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-1】已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-3】若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 题型五：平面向量数乘运算的坐标形式 【例5】已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为__________． 【变式5-1】向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则___________. 【变式5-2】已知，，且点P在的延长线上，使，则点P的坐标为______. 【变式5-3】已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______． 题型六：向量共线的判断与证明 【例6】设为平面内的四点，且，，． (1)若，求点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数的值． 【变式6-1】已知向量． (1)分别求出的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 【变式6-2】如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【变式6-3】已知，． (1)求和的值； (2)若向量，，证明：． 题型七：依据向量共线坐标关系求解参数 【例7】已知，且，则的值为______． 【变式7-1】如果向量，共线，则等于________． 【变式7-2】设平面向量，，.则使得向量与共线的一组实数x，y的值为______，______. 【变式7-3】已知向量，，，若与共线，则实数的值为______． 题型八：定比分点坐标公式及其应用 【例8】在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式8-2】直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 【变式8-3】已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 题型九：数量积的坐标运算方法 【例9】已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（   ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 【变式9-1】已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知向量，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式9-3】蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（   ）    A．12 B． C．16 D． 题型十：平面向量模长的计算 【例10】设向量，满足，，则的值为________． 【变式10-1】已知向量与向量方向相同，则_____. 【变式10-2】在平面直角坐标系中，已知，，，若，则_____. 【变式10-3】已知向量，，则________. 题型十一：平面向量的夹角与垂直问题 【例11】已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 【变式11-1】已知点，向量. (1)求向量与的夹角； (2)若点在轴上，且，求点的坐标. 【变式11-2】已知向量，，且. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 【变式11-3】已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是、、． (1)求顶点D的坐标； (2)求与所成夹角的余弦值． (3)求平行四边形ABCD的面积； 题型十二：平面向量数量积的综合运用 【例12】在等腰梯形中，CD的中点为O，以O为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知． (1)求； (2)若点F在线段CD上，，求． 【变式12-1】如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一动点，垂直于点，垂直于点． （1）求向量与的夹角； （2）设，点满足，证明，并求出当运动时，的取值范围． 【变式12-2】如图，已知为坐标原点，向量，，，. （1）求证：；   （2）若，求的值. 【变式12-3】已知等边三角形的边长为2，以顶点为圆心，2为半径作圆弧，设是弧上的动点（包括端点）. (1)求阴影部分的面积； (2)求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6．3 平面向量基本定理及坐标表示 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：平面向量基本定理 4 知识点二：平面向量的正交分解及坐标表示 4 知识点三：平面向量的坐标运算 5 知识点四：向量数量积的坐标表示 5 知识点五：向量在几何中的应用 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：平面向量基本定理的概念理解 7 题型二：利用基底表示目标向量 8 题型三：平面向量的坐标化表示 11 题型四：平面向量加减运算的坐标形式 12 题型五：平面向量数乘运算的坐标形式 13 题型六：向量共线的判断与证明 15 题型七：依据向量共线坐标关系求解参数 17 题型八：定比分点坐标公式及其应用 18 题型九：数量积的坐标运算方法 20 题型十：平面向量模长的计算 22 题型十一：平面向量的夹角与垂直问题 23 题型十二：平面向量数量积的综合运用 26 知识点一：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 2、基底的性质 不唯一性:基底不唯一,任何两个不共线的向量都可以作为基底。 唯一分解: 对于给定的基底,向量的分解形式是唯一的 唯一确定)。 零向量限制:零向量不能作为基底向量,因为它与任何向量共线。 知识点二：平面向量的正交分解及坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识点三：平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 2、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 知识点四：向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 知识点五：向量在几何中的应用 （1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 （2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件 （3）求夹角问题，利用 （4）求线段的长度，可以利用或 题型一：平面向量基本定理的概念理解 【例1】如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 【答案】C 【解析】选项A中，由平面向量基本定理知与共面，所以A项不正确； 选项B中，由平面向量基本定理知实数有且仅有一对，所以B项不正确； 选项C中，根据基底的定义知，不共线，若，则，所以C正确； 选项D中，由平面向量基本定理知实数一定存在，所以D项不正确． 【变式1-1】设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】对于A：不存在实数，使得，即它们不共线，故可以作为基底，A正确； 对于B：，即它们共线，故不能作为一组基底，B错误； 对于C：，即它们共线，故不能作为一组基底，C错误； 对于D：，即它们共线，故不能作为一组基底，D错误， 故选：A. 【变式1-2】在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可得，，，三点共线，且为的中点， 故存在实数使， 有， 且， 因为，即， 因为与不共线，所以有，解得. 故选：C. 【变式1-3】在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 题型二：利用基底表示目标向量 【例2】如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 【变式2-1】如图，在中，点D是的中点，点E在边上，且满足，交于点F，设，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】设，因为B，F，E共线，所以， 又，所以， 又因为， 所以， ，即， 所以，代入得， 解得，则有． 故选：B． 【变式2-2】如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，又因为三点共线， 所以设，又，所以， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以， 所以. 故选：C. 【变式2-3】如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】设且，则， 又，则， 由共线，则，可得， 所以. 故选：B 题型三：平面向量的坐标化表示 【例3】，，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，，则. 故选：C. 【变式3-1】已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点，， 所以， 故选：B 【变式3-2】已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 题型四：平面向量加减运算的坐标形式 【例4】已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点D的坐标为，则， 若四边形ABCD为平行四边形，则， 可得，解得，即点D的坐标为. 故选：B. 【变式4-1】已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，，， 所以，，， 设向量 则 则，解得 所以. 【变式4-2】若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由， 则，，故． 故选：C. 【变式4-3】若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为， 所以. 故选：D 题型五：平面向量数乘运算的坐标形式 【例5】已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为__________． 【答案】 【解析】因为，则， 则， 可得， 则， 可得，解得. 故答案为：. 【变式5-1】向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则___________. 【答案】 【解析】如图，将平移至相同起点，且，，并构建直角坐标系xOy， 若每个单元格长为1，则. 又， 所以， 即可得 所以. 故答案为：. 【变式5-2】已知，，且点P在的延长线上，使，则点P的坐标为______. 【答案】 【解析】因为点P在的延长线上，使， 所以，设点， 而， 所以，解得. 故答案为：. 【变式5-3】已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 题型六：向量共线的判断与证明 【例6】设为平面内的四点，且，，． (1)若，求点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数的值． 【解析】（1）设，由，得， 即， 所以解得， 所以点D的坐标为． （2）因为， ， 所以， ． 由与平行， 得． 所以． 【变式6-1】已知向量． (1)分别求出的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 【解析】（1）因为， 所以， . （2）因为， 所以由 ， 所以. （3）因为， 所以，， 因为， 所以. 【变式6-2】如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【解析】（1）以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . 因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 【变式6-3】已知，． (1)求和的值； (2)若向量，，证明：． 【解析】（1）因为，， 所以． 所以． （2）证明：因为 ， 所以，所以． 题型七：依据向量共线坐标关系求解参数 【例7】已知，且，则的值为______． 【答案】15 【解析】，，解得． 故答案为：15． 【变式7-1】如果向量，共线，则等于________． 【答案】 【解析】因为向量，共线， 所以存在，使得， 即， 则， 解得或， 所以． 故答案为： 【变式7-2】设平面向量，，.则使得向量与共线的一组实数x，y的值为______，______. 【答案】 （不唯一） （不唯一） 【解析】因为向量，， ， 所以， 又因为，且向量与共线， 所以， 即， 故答案为：（不唯一） 【变式7-3】已知向量，，，若与共线，则实数的值为______． 【答案】 【解析】因为向量，，， 所以，， 因为与共线， 所以，解得． 故答案为： 题型八：定比分点坐标公式及其应用 【例8】在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意可得， 因为边的中线为，所以， 因为P为上靠近A的三等分点，所以， 所以点P的坐标为. 故选：B. 【变式8-1】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 【变式8-2】直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 【答案】B 【解析】A选项，由，可知， ，， 时，， 此时，A选项正确； B选项，由于，，不能表示横坐标为的点，B选项错误； C选项，由于，当且时，， 不妨设，故，，为外分点，C选项正确； D选项，当时，，此时会与重合，D选项正确. 故选：B 【变式8-3】已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 题型九：数量积的坐标运算方法 【例9】已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（   ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 【答案】C 【解析】在三角形ABC中，，三角形ABC为直角三角形，是BC的中点， 则，由题意得，是AD的中点， 以为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则，由，即，得， 则，，所以． 故选：C 【变式9-1】已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知，所以， 则，即. 故选：D 【变式9-2】已知向量，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由，，两式联立可得，， . 故选：B. 【变式9-3】蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（   ）    A．12 B． C．16 D． 【答案】A 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系： 由于正六边形的边长为1， 所以，， 所以， 所以， 故选：A 题型十：平面向量模长的计算 【例10】设向量，满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】设，， 因为，所以，， ， 因为， 所以， 也即，所以， 因为， 所以 ． 故答案为：． 【变式10-1】已知向量与向量方向相同，则_____. 【答案】 【解析】由题意可知：，则， 整理可得，解得或， 当时，则，，即，可知与反向，舍去； 当时，则，即，可知与同向，符合题意； 综上所述：，，所以. 故答案为：. 【变式10-2】在平面直角坐标系中，已知，，，若，则_____. 【答案】 【解析】，，，得，. 故答案为： 【变式10-3】已知向量，，则________. 【答案】// 【解析】， 所以， 故答案为： 题型十一：平面向量的夹角与垂直问题 【例11】已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 【解析】（1），B，P三点共线，． ，，，． （2），，． （3）若是锐角，则，且，不共线． ，，， 且，解得，且． 【变式11-1】已知点，向量. (1)求向量与的夹角； (2)若点在轴上，且，求点的坐标. 【解析】（1）， 又，所以， 则向量与的夹角； （2）设， ，， ， ， 解得或， 所以点的坐标为或． 【变式11-2】已知向量，，且. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 【解析】（1）因为，， 所以， 由，可得， 即，解得， 所以， 又与同方向的单位向量，， 故在上的投影向量为. （2），， 向量与的夹角为钝角的充要条件是，且向量与 不共线，即， 解得且， 故m的取值范围是. 【变式11-3】已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是、、． (1)求顶点D的坐标； (2)求与所成夹角的余弦值． (3)求平行四边形ABCD的面积； 【解析】（1）设顶点D的坐标为； ， ， 又，所以， 即，解得； 所以顶点的坐标为； （2）由， 所以， 所以； （3）， 所以， 所以， 所以. 题型十二：平面向量数量积的综合运用 【例12】在等腰梯形中，CD的中点为O，以O为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知． (1)求； (2)若点F在线段CD上，，求． 【解析】（1）依题意，y轴是等腰梯形的对称轴，则，由， 得，， 所以. （2）设，则， ，解得，即，，而， 所以. 【变式12-1】如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一动点，垂直于点，垂直于点． （1）求向量与的夹角； （2）设，点满足，证明，并求出当运动时，的取值范围． 【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，则（0，0），（1，0），（1，1），（0，1）， 设（），则，， 所以，， 所以， 所以向量与的夹角； （2），即， 于是有，即 设是线段的中点，则 因此， 从而，因此，，三点共线， 结合，及线段的中点在上，得，关于直线轴对称， 因此与重合，，结合与不重合，有， ，， ∴取值范围是. 【变式12-2】如图，已知为坐标原点，向量，，，. （1）求证：；   （2）若，求的值. 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴． （2）∵，， ，∴， 即， 解得或（舍）， ∵，∴，∴． 【变式12-3】已知等边三角形的边长为2，以顶点为圆心，2为半径作圆弧，设是弧上的动点（包括端点）. (1)求阴影部分的面积； (2)求的取值范围. 【解析】（1）设阴影部分的面积为， 则； （2） 以为原点，为轴，过作垂直于的直线为轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设，则. 所以 所以， 所以 . 当时，，， 所以，. 所以的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $