第四章 第三节 三角恒等变换-2022高考数学文科【金版新学案】大一轮复习讲义·高三总复习

复习讲义答案精析 cos４α＋sin４α＝(sin２α＋cos２α)２－２sin２αcos２α ＝１－２× ( ４９ ) ２ ＝４９８１． 答案:　４９８１ 第三节　三角恒等变换 知识分步落实 练基础 １．答案:　(１)√　(２)√　(３)√ ２．D　[sin２０°cos１０°－cos１６０°sin１０° ＝sin２０°cos１０°＋cos２０°sin１０° ＝sin(２０°＋１０°) ＝sin３０°＝ １２ ． ] ３．B　[因为α是第三象限的角, 所以sinα＝－ １－cos２α＝－ ３５ , 所以sin(α－ π４ ) ＝sinαcos π ４ －cosαsin π ４ ＝－ ３５ × ２ ２ － ( － ４ ５ ) × ２ ２ ＝ ２ １０． ] ４．解析:　因为sinx＝－ ２３ ,所以由二倍角公 式,得cos２x＝１－２sin２x＝１－２× ( － ２３ ) ２ ＝ １９ ． 答案:　 １９ ５．解析:　 １１－tan１５°－ １ １＋tan１５° ＝１＋tan１５°－ (１－tan１５°) (１－tan１５°)(１＋tan１５°)＝ ２tan１５° １－tan２１５° ＝tan３０°＝ ３３ ． 答案:　 ３３ 第１课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考点分类突破 考点一 题组练透 １．A　[∵３cos２α－８cosα＝５, ∴３(２cos２α－１)－８cosα＝５, ∴６cos２α－８cosα－８＝０, ∴３cos２α－４cos２α－４＝０, 解得cosα＝２(舍去)或cosα＝－ ２３ ． ∵α∈(０,π),∴sinα＝ １－cos２α＝ ５３ ． 故 选 A．] ２．D　[因为角α为第二象限角,且sinα＝ １３ , 所以cosα＝－２ ２３ ． 所 以 cos(α－ π４ ) ＝ cosαcosπ４ ＋sinαsin π ４ ＝－ ２ ２ × ２ ２ ３ ＋ １ ３ × ２２ ＝ ２－４ ６ ． 故选 D．] ３．B　[将角α的终边按顺时针方向旋转 π６ 后 得到的角为α－ π６ ,由三角函数的定义,可得 cos(α－ π６ ) ＝ －３ (－３)２＋４２ ＝－ ３５ , sin(α－ π６ ) ＝ ４ (－３)２＋４２ ＝ ４５ , 所以cosα＝cos[ (α－ π６ ) ＋ π ６ ] ＝cos(α－ π６ )cos π ６－sin(α－ π ６ )sin π ６ ＝ ( －３５ ) × ３ ２ － ４ ５ × １ ２ ＝－ ３ ３＋４ １０ ． 故选B．] 考点二 【例１】　(１)B　(２)A　[(１)由tanAtanB＝ tanA＋tanB＋１,可得tanA＋tanB１－tanAtanB＝－１ , 即tan(A＋B)＝－１,又A＋B∈(０,π),所以 A＋B＝３π４ ,则C＝ π４ ,cosC＝ ２２ ． (２) sin１０° １－ ３tan１０° ＝ sin１０°cos１０° cos１０°－ ３sin１０° ＝ ２sin１０°cos１０° ４( １２cos１０°－ ３ ２sin１０°) ＝ sin２０°４sin(３０°－１０°) ＝ １４ ,故选 A．] 变式训练 １．D　 [cos２ α－ π４( ) ＝ １＋cos ２α－ π２( ) ２ ＝ １ ２ ＋ １ ２sin２α＝ １ ２ ＋ １ ２ × １ ３ ＝ ２ ３ ． ] ２．解析:　由cos(α＋ π６ ) －sinα ＝ ３２cosα－ １ ２sinα－sinα ＝ ３２cosα－ ３ ２sinα ＝ ３( １２cosα－ ３ ２sinα) ＝ ３cos(α＋ π３ ) ＝ ３sin( π６ －α) ＝ ４ ３ ５ , 得sin( π６ －α) ＝ ４ ５ ． sin(α＋１１π６ ) ＝－sin[２π－ (α＋ １１π ６ ) ] ＝－sin( π６ －α) ＝－ ４ ５ ． 答案:　－ ４５ ３．解析:　(１＋tan２０°)(１＋tan２５°) ＝１＋tan２０°＋tan２５°＋tan２０°tan２５° ＝１＋tan(２０°＋２５°)(１－tan２０°tan２５°)＋ tan２０°tan２５°＝２． 答案:　２ 考点三 【例２】　(１)A　(２)A　[(１)∵tan (α＋ π１２) ＝ －２,∴tan(α＋ π３ ) ＝tan [ (α＋ π １２ ) ＋ π ４ ] ＝ tan(α＋ π１２) ＋tan π ４ １－tan(α＋ π１２) 􀅰tan π ４ ＝ －２＋１１－(－２)×１＝－ １ ３ ,故选 A． (２)∵α,β都是锐角,∴０＜α＋β＜π,－ π ２ ＜α －β＜ π ２ ． 又∵cos(α＋β)＝ ５ １３ ,sin(α－β)＝ ３ ５ , ∴sin(α＋β)＝ １２ １３ ,cos(α－β)＝ ４