第四章 第四节 三角函数的图象与性质-2022高考数学文科【金版新学案】大一轮复习讲义·高三总复习

复习讲义答案精析 法二:由已知得直角三角形中与较小的锐角 θ相邻的直角边的长为１０cosθ,所以直角三 角形中较小的锐角θ对边的长为１０cosθ－２． 所以(１０cosθ－２)２＋(１０cosθ)２＝１０２．因为０ ＜cosθ＜１,所以cosθ＝ ４５ 或cosθ＝－ ３５ (舍去)．又０＜sinθ ＜１,所以sinθ＝ ３５ ,所 以sin(θ－ π２ ) －cos(θ＋ π ６ ) ＝－cosθ－ ３ ２cosθ＋ １ ２sinθ＝－ ４ ５ － ３ ２ × ４ ５ ＋ １ ２ × ３ ５ ＝ －５－４ ３ １０ ． ] 第四节　三角函数的图象与性质 知识分步落实 整知识 １．(１) ３π２ ,－１( ) 　(２)(π,－１) ２．x x≠kπ＋ π２{ }　[－１,１]　[－１,１]　R 　２π　２π　π　奇函数　偶函数　奇函数　 ２kπ－ π２ ,２kπ＋ π２[ ] 　 ２kπ－π,２kπ[ ] 　 ２kπ＋ π２ ,２kπ＋３π２[ ] 　 ２kπ,２kπ＋π[ ] 　 (kπ,０)　 kπ＋π２ ,０( ) 　x＝kπ＋π２　x＝kπ 练基础 １．答案:　(１)×　(２)×　(３)×　(４)× ２．A　[T＝２π２＝π ,A＝２－１＝１．] ３．A　[y＝４cosx在[－π,０]上是增函数,在[０,π]上是 减函数．] ４．解析:　由３x≠ π２ ＋kπ (k∈Z),得x≠ π６ ＋ kπ ３ , k∈Z． 答案:　 x x≠π６＋ kπ ３ ,k∈Z{ } ５．解析:　函数y＝３－２cos x＋π４( ) 的最大值为３＋ ２＝５,此时x＋π４＝π＋２kπ ,k∈Z,即x＝３π４ ＋２kπ (k∈Z)． 答案:　５　３π４＋２kπ (k∈Z) 考点分类突破 考点一 题组练透 １．解析:　要使函数y＝lg(３tanx－３)有意义, 则３tanx－３＞０,即tanx＞ ３３． ∴π６＋kπ＜x＜ π ２＋kπ ,k∈Z． 答案:　 π６＋kπ ,π ２＋kπ( ) ,k∈Z ２．解析:　要使函数有意义,必须使sinx－cosx≥０． 利用图象,在同一坐标系中画出[０．２π]上y＝sinx 和y＝cosx的图象,如图所示．在[０,２π]内,满足 sinx＝cosx的x为 π４ ,５π ４ ,再结合正弦、余弦函 数的周期是２π,所以原函数的定义域为 x ２kπ＋π４≤x≤２kπ＋ ５π ４ ,k∈Z{ }． 答案:　 ２kπ＋π４ ,２kπ＋５π４[ ](k∈Z) 考点二 【例１】　解析:　(１)f(x)＝cos２x＋３sin２x ＝２sin(２x＋ π６ ) ,则由－ π ２ ＋２kπ≤２x＋ π ６ ≤ π ２＋２kπ (k∈Z),得－ π３ ＋kπ≤x≤ π ６ ＋kπ (k∈ Z),即函数f(x)的单调递增区间是[kπ－ π３ ,kπ＋ π ６ ](k∈Z),故选 A． (２)如 图,观 察 图 象 可 知,y＝ tanx 在 － π２ ,３π ２( ) 上的单调减区间为 ( － π ２ ,０] 和 π ２ ,π( ] ． 答案:　(１)A　(２) － π２ ,０( ] 和 π２ ,π( ] 【例２】　解析:　(１)f(x)＝sinx＋ ３cosx＝ ２sin(x＋ π３ ) ,x∈ [０, π ２ ] ⇒x＋ π ３ ∈ [ π３ , ５π ６ ] ,所以２sin(x＋ π ３ ) ∈[１,２],所 以f(x)的最大值２． (２)设t＝sinx－cosx,则－ ２≤t≤ ２,t２＝ sin２x＋cos２x－２sinxcosx,则 sinxcosx ＝１－t ２ ２ ． 所以y＝－t ２ ２ ＋t＋ １ ２ ＝－ １ ２ (t－１)２＋１． 当t＝１时,ymax＝１;当t＝－ ２时,ymin＝ － １２ － ２． 所以函数的值域为 － １２ － ２ ,１[ ] ． 答案:　(１)２　(２) － １２ － ２ ,１[ ] 【例３】　(１)A　(２)B　[(１)f(x)＝cosx－sinx ＝ ２cos(x＋ π４ ) 在 － π ４ ,３π ４[ ] 上单调递 减,所以[－a,a]⊆ － π４ ,３π ４[ ] ,故 －a≥ － π４ 且a≤３π４ ,解得０＜a≤ π４ ． (２)通解:因为x∈ [０,π２ ] ,ω＞０,所以ωx－ π ４ ∈ [ － π ４ ,ωπ ２ － π ４ ] ．又当x∈ [０, π ２ ] 时,f(x)∈ [ － ２２ ,１] ,所以 π ２ ≤ ωπ ２ － π ４ ≤ ５π ４ ,解得 ３ ２ ≤ω≤３ ,故选B． 优解:当ω＝２时,f(x)＝sin(２x－ π４ ) ．因 为x∈ [０,π２ ] ,所 以 ２x－ π ４ ∈ [ － π ４ , ３π ４ ] ,所 以sin(