试卷04期末预测试卷——立体几何与空间向量-2020-2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习（苏教版选修2-1）

2020—2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习 试卷04 期末预测试卷——立体几何与空间向量 使用说明：试卷满分100分，测试时间80分钟 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ． 2．已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线， 但四点共面，且， ，，解得实数． 3．如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点是棱的中点，点，，是正方体的面上的点，且平面，则点，，满足方程 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图知，0，，，1，，，0，，，2，， 故，，，，1，，，0，， 令平面的法向量为，，则，即令，得，，故平面的法向量为，，， 又，故有，即． 4．许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体．正二十面体的每一个面均为等边三角形，共有12个顶点、30条棱．如图所示，由正二十面体的一个顶点和与相邻的五个顶点可构成正五棱锥，则与面所成角的余弦值约为 （参考数据： A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，，，，在平面上的射影，，，，，如图所示，所以五个三角形都是等腰三角形且， 因为，又，令， 所以，又正二十面体的每一个面均为等边三角形，即，且平面，所以与平面所成角的余弦值为． 5．如图，长方体中，，点为线段的中点，，，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为 A．2 B． C．5 D． 【答案】C 【解析】过作于，过作于， 因为平面，平面，所以， 则四边形为矩形，所以，， 故． 6．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，当平面与平面所成（锐二面角的余弦值为时，经过，，三点的截面的面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， ，1，，，0，，，2，， 则，， 设平面的一个法向量为， 由，取，可得， 平面的一个法向量， 由题意，，解得或（舍， 为四等分点（靠近， 延长，，设，连接，交于，延长，交的延长线于， 连接，交于，则五边形为截面图形， 由题意求得，，，，，， 摘出五边形如图， 求解三角形可得等腰三角形底边上的高为，等腰梯形的高为， 则截面面积为． 二、 多项选择题（本大题共3小题，每小题5分， 共计15分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 7．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是 A．两条不重合直线，的方向向量分别是，3，，，，，则 ∥ B．直线的方向向量，，，平面的法向量是，4，，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，2，，，4，，则 D．直线的方向向量，3，，平面的法向量是，，，则 【答案】AC 【解析】对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，3，，，，，且，所以，选项正确； 对于，直线的方向向量，，，平面的法向量是，4，， 且，所以或，判断选项错误； 对于，两个不同的平面，的法向量分别是，2，，，4，， 且，所以，选项正确； 对于，直线的方向向量，3，，平面的法向量是，，， 且，所以，选项错误． 8．如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则 A．，，三点共线 B．直线与的夹角为 C．直线与平面所成的角为 D．二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】如图，连接，，可知平面平面，与平面的交点必在上，即，，三点共线，选项正确； 显然，故直线与直线的夹角即为直线与直线的夹角，在正方体中，易知△为正三角形，则，选项正确； 在平面的射影为，，，同理，又，且平面，平面，平面，即为与平面所成角，又，故，选项错误； 平面，平面，，，，平面，平面，平面，又平面，故， 连接，则即为二面角的大小，又，则，，则，于是，选项正确． 9．如图，在边长为4的正方形中，点、分别在边、上（不含端点）且，将，分别沿，折起，使、两点重合于点，则下列结论正确的有 A． B．当时，三棱锥的外接球体积为 C．当时，三棱锥的体积为 D．当时，点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】取的中点，连接，，由题意可得，，所以，，，所以平面，所以，故正确； 当时，，，可得，又，，可把三棱锥放到以，，为相邻棱的长方体中，可得长方体的对角线长为，故外接球的半径为，体积为，故错误； 当时，，，所以 ，， ，故正确； 当时，设到面的距离为， 则，解得，故正确． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计