专题10 立体几何与空间向量-2020-2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习（苏教版选修2-1）

2020—2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习 10 立体几何与空间向量 【例题精讲】 一、空间向量的线性运算 例1．在三棱锥中，已知是的中点，且，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在三棱锥中，是的中点， ， ，，，，． 例2．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在四面体中，是的中点，是的中点， 则，．． 例3．（多选）设，，构成空间的一个基底，则下列说法正确的是 A．存在不全为零的实数，，，使得 B．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，，，使得 C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有 D．存在另一个基底，，，使得 【答案】BCD 【解析】对于，若存在不全为零的实数，，，使得， ，，不一定构成空间的一个基底，所以错； 对于，因为，，构成空间的一个基底，所以对空间任一向量， 总存在唯一的有序实数组，，，使得，所以对； 对于，因为，， 所以，，不能与，构成空间另一个基底； 又因为设，，若 ，所以与，构成空间另一个基底； 所以在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有，所以对； 对于，存在，根据向量运算几何意义， 表示以为顶点，以，，为相邻三边的长方体对角线， 绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底，，， 都满足，所以对． 二、空间向量的坐标运算 例1．如果向量，，，，4，，，，共面，则实数的值是 A． B．1 C． D．5 【答案】B 【解析】向量，，，，4，，，，共面， 存在，，使得，，，，，， ，解得，，．实数的值是1． 例2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，2，，若直线与平面平行，则实数的值为 A． B． C． D．10 【答案】D 【解析】因为直线的方向向量为， 平面的法向量为，2，，且直线与平面平行， 所以，则，所以． 三、空间角的计算问题 1．线线角 例1．（多选）如图，已知为正方体，，分别是，的中点，则 A． B． C．向量与向量的夹角是 D．异面直线与所成的角为 【答案】ABD 【解析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，0，，，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，2，， 所以，故，故选项正确； 又，又， 所以，，则，故选项正确； ，所以，因此与的夹角为，故选项错误； 因为，分别是，的中点，所以，1，，，1，， 则，所以，又异面直线的夹角大于小于等于，所以异面直线与所成的角为，故选项正确． 例2．如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点，设是线段上的动点，则当与所成角取得最小值时，线段的长度为 ． 【答案】 【解析】过点作平面，交延长线于点，连结， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 在中，，，，将绕边翻转至， 使平面平面，是的中点，设是线段上的动点， 则，0，，，0，，，0，，，2，，，0，， 设，，，，0，，，， 即，，，0，，，0，， ，1，，，，，，2，， ，令，，， ，由，，，得， ，时，，，时，， 当时，取最大值，此时与所成角取得最小值，． 2．线面角 例3．如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱、的中点，是侧面内一点（含边界），若平面，点的轨迹长度为 ．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 ． 【答案】；， 【解析】如图，分别取棱，的中点，，连接，，，，， ，，，分别是其所在棱的中点， ，，， 平面，平面，平面， ，，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面， 是侧面内一点，且平面， 点必在线段上，点的轨迹长度为． 点的轨迹是线段，平面， 直线与平面所成角的正切值为与到的距离之比， 设是的中点，则， ，到的距离的最大值为， 直线与平面所成角的正切值的最小值为， 到的距离的最小值为， 直线与平面所成角的正切值的最大值为． 直线与平面所成角的正切值的取值范围是，． 例4．如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 【解析】（1）证明：平面，平面， ， ，，， ， 又，， ， 同理可得：， 又， 平面． （2）解：取中点，过作平面的垂线，交于， ，， ，，，， 以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示： 则，，，，0，，，0，，，，， ，，，，0，，，，， 设平面的法向量为，，，则， ，令可得，1，， ． 设直线与平面所成的角为，则． 直线与平面所成的角的正弦值为． 3．二面角 例5．如图，在棱柱中，底面为平行四边形，，，，且在底面上的投影恰为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小． 【解析】（1）证明：在棱柱中，四边形，为平