第二章 第九节 函数与方程-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第9节 函数与方程 知识回顾 1． 函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系 方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 课前检测 1.【2019年江苏镇江高一上学期期末考试数学试卷】已知方程 的解 ，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由方程 可得 ，令 ， ，， 所以函数的零点 的存在性定理可得，函数的零点在区间 上，由题意可知 ． 故选 B 2.【2019年吉林长春吉林大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷】已知 在区间 内有一个零点 ，若用二分法求 的近似值（精确度为 ），则需将区间等分的次数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】用二分法求解，依次可得零点所在的区间为 ，，，，因为 ，故需要将区间等分 次． 3.【2019年广东深圳福田区深圳市红岭中学高一上学期期末考试数学试卷】已知 ， 在 上连续，根据下表能够判断 有实数解的区间是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ， 因为 ， ， ， ， ， 于是有 ． 4.函数的零点所在的大致区间是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，由对数函数和反比例函数的单调性可得在上单调递增， 又，所以零点所在区间是，故选C． 5．若函数f (x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．[1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 答案　C 解析　当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不符合题意． 当a≠0时，若Δ>0，f (0)·f (1)<0，则a>1. 若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，不符合题意，故选C. 6．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．函数f (x)＝x＋1的零点为(－1,0) B．函数f (x)＝x＋1的零点为－1 C．函数f (x)的零点，即函数f (x)的图象与x轴的交点 D．函数f (x)的零点，即函数f (x)的图象与x轴的交点的横坐标 答案　BD 解析　根据函数零点的定义，可知f (x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f (x)的零点，即函数y＝ f (x)的图象与x轴的交点的横坐标， 因此B，D正确，A，C错误. 课中讲解 考点一.函数零点区间的判断 例1.【2019年陕西延安延安市第一中学高三上学期月考数学试卷（文）】函数 的零点所在的大致区间为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【分析】：计算区间端点处函数值，根据零点存在定理确定． ，，， 所以在 有零点． 故选 B 【备注】【点睛】：本题考查零点存在定理，属于基础题． 变式1．(2019·郑州名校联考)已知实数a，b满足2a＝3,3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：选B　∵2a＝3,3b＝2，∴a＞1,0＜b＜1，又f(x)＝ax＋x－b是单调递增函数，∴f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，∴f(x)在区间(－1,0)上存在零点．故选B. 例2．若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间(　　) A. B. C. D. 解析：选C　令g(x)＝x，f(x)＝x， 则g(0)＝1＞f(0)＝0，g＝＜f＝，g＝＞f＝， 结合图象可得＜x0＜. 变式2．(2019·河北武邑中学调研)函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________. 解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln 2＜0，f(3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2. 答案：2 考点二.零点个数的判断 例1.【2020年浙江杭州杭州第七中学高一上学