第二章 第八节 对数函数-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第8节 对数函数 知识回顾 1．对数函数的定义 形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0 在(0，＋∞)上是单调增函数 在(0，＋∞)上是单调减函数 3.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 课前检测 1.下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； ⑦ A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【解析】① 不是对数函数 ② 不是对数函数 ③ 是对数函数 ④ 是对数函数 ⑤ 不是对数函数 ⑥ 是对数函数，因为 ，可以写成对数函数的形式。 ⑦ 不是对数函数 综上所述，对数函数有3个． 所以C选项是正确的． 【备注】1．判断是否符合对数函数定义的形式． 2．对数式前面有系数是对数函数． 2.函数为对数函数，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数为对数函数， ，解得， ， ． 故选：． 3．函数f (x)＝log2(3－ax)在(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是________． 答案　(1,3] 解析　由已知可得解得1<a≤3. 4．已知a＞0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　) 解析：选B　函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B. 5．函数y＝的定义域为______． 解析：要使函数有意义，须满足 解得＜x≤1. 答案： 课中讲解 考点一.对数函数的图像与性质 例1.【2017年甘肃兰州西固区兰州炼油化工总厂第一中学高一上学期期中考试数学试卷】已知函数 的图象如图所示，则 ， 满足的关系是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ． ． 内函数 为单调递增函数． 外函数 也是单调递增函数． ． ． ． ． ． 【备注】本题考查对数函数的图像及其性质． 变式1.如图为函数 的图象，其中 ， 为常数，则下列结论正确的是(　　) ​​​ A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】当 时，，由图形易知 ． 又 函数是减函数． ． 故选 D 例2.若（且），则函数的图像大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据，解得；函数的图像由向左平移一个单位即可，原函数单调递减 【备注】基本初等函数的图像及图像变化 变式2.如图是对数函数的函数图像分别为，则的关系是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】​​​ 第一步：判断与1的大小关系 由单调性可知， 第二步：作直线 函数值等于时，自变量的值刚好等于底数，因此，我们可以作一条直线，与图像交点的横坐标即为底数。 作直线与图像交点，其横坐标分别为， 第三步：作答 所以有， 例3.方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为__________． 答案　 解析　若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点， 由图象知解得0<a≤. 变式3．已知不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为__________． 解析：由x2－logax＜0得x2＜logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可． 当a＞1时，显然不成立； 当0＜a＜1时，如图所示， 要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤f2， 所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a＜1. 即实数a的取值范围是. 答案： 例4．当0＜x≤时，＜logax，则实数a的取值范围为________． 解析：若＜logax在x∈上恒成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示， 由图象知 ＜loga， 所以解得＜a＜1. 即实数a的取值范围是. 答案： 变式4．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　) A．x1x2＜0 B．x1x2＝0 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1 解析：选D　作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图． 显然x1＜0，x2＜0.