江苏省如皋中学2020-2021学年高二下学期数学期末综合复习三

2020-2021江苏省如皋中学高二下学期数学期末综合复习卷三 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分． 1．对某小区100户居民月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图如图，则估计此样本的众数、中位数分别为 A．2.25，2.5 B.2.25，2.02 C.2，2.5 D.2.5，2.25 2．数列{an}满足a1＝2，an＝eq \f(an＋1－1,an＋1＋1)，其前n项积为Tn，则T10等于(　　) A.eq \f(1,6) B．－eq \f(1,6) C．6 D．－6 3．如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P、Q满足A1P＝BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为(　　) A．3∶1 B．2∶1 C．4∶1 D.eq \r(3)∶1 4．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的 “弓”，掷铁饼者的手臂长约 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为 米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据: ， )（ ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 5．已知p：x＝2，q：x－2＝eq \r(2－x)，则p是q的　(　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 7．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞) 8．已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积是(　　) A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(2),6) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(\r(2),2) 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝2x D．y2＝16x 10．已知数列{an}满足a1＝0，且对任意n∈N*，an＋1等概率地取an＋1或an－1，设an的值为随机变量ξn，则下列选项正确的是(　　) A．P(ξ3＝2)＝eq \f(1,4) B．P(ξ3＝0)＝eq \f(1,4) C．P(ξ3＝－2)＝eq \f(1,4) D．E(ξ3)＝0 11．下列命题正确的是(　　) A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数 B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数 C．复数z是实数的充要条件是z＝eq \x\to(z)(eq \x\to(z)是z的共轭复数) D．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若eq \o(OC,\s\up7(―→))＝xeq \o(OA,\s\up7(―→))＋yeq \o(OB,\s\up7(―→))(x，y∈R)，则x＋y＝1 12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、Q分别是棱D1C1、A1D1、BC的中点，点P在BD1上且BP＝eq \f(2,3)BD1.则以下四个说法中说法正确的是（ ） A．MN∥平面APC； B．C1Q∥平面APC； C．A、P、M三点共线； D．平面MNQ∥平面APC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知F为双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________． 14．德国数学家莱布尼茨发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼茨三角形．根据前6行的规律，写出第7行的第3个数：________. eq \f(1,1) eq \f(1,2)　eq \f(1,2) eq \f(1,3)　eq \f(1,6)　eq \f(1,3) eq \f(1,4)　eq \f(1,12)　eq \f(1,12)　eq \f(1,4) eq \f(1,5)　eq \f(1,20)　eq \f(1,30)　eq \f(1,20)　eq \f(1,5) eq \f(1,6)　eq \f(1,30)　eq \f(1,60)　eq \f(1,60)　eq \f(1,30)　eq \f(1,6) ……　……　……　…… 15．若函数y＝f(x)图象上不同两点M、N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和谐点对”)．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ex，x<0，,x2－4x，x>0，))则此函数的“和谐点对”有________对． 16．已知实数x，y满足3x－y≤ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)，则x＋y＝________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题10分）． △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq \f(a2,3sin A). (1)求sin Bsin C； (2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长. 18．（本题12分）． 已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*). 19．（本题12分）． 如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点. (1)证明：直线CE∥平面PAB； (2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°， 求二面角M－AB－D的余弦值. 20．（本题12分）． 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 21．（本题12分）． 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足eq \o(NP,\s\up6(→))＝eq \r(2) eq \o(NM,\s\up6(→)). (1)求点P的轨迹方程； (2)设点Q在直线x＝－3上，且eq \o(OP,\s\up6(→))·eq \o(PQ,\s\up6(→))＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 22．（本题12分）． 已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－eq \f(3,4a)－2. 答案 一．选择题 B D B C；C B A B； AD；ACD；BC；BC 二．填空题 44；eq \f(1,105) ；2；eq \f(16,7) 17. 18. 19. (2)解　由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，eq \o(AB,\s\up3(→))的方向为x轴正方向，|eq \o(AB,\s\up3(→))|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz， 因为BM与底面ABCD所成的角为45°， 而n＝(0，0，1)是底面ABCD的一个法向量，所以|cos〈eq \o(BM,\s\up3(→))，n〉|＝sin 45°， 20. (1)由题意知，X所有的可能取值为200，300，500，1分 由表格数据知， (2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500. 当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n， 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n； 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.………8分 当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n； 因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.………10分 所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.…………12分 21. (1)解　设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，eq \o(NP,\s\up6(→))＝(x－x0，y)，eq \o(NM,\s\up6(→))＝(0，y0)…1分 由eq \o(NP,\s\up6(→))＝eq \r(2) eq \o(NM,\s\up6(→))得：x0＝x，y0＝eq \f(\r(2),2)y， ………3分 因为M(x0，y0)在C上，所以eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,2)＝1，则点P的轨迹方程为x2＋y2＝2. ……5分 (2)证明　由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)， 则eq \o(OQ,\s\up6(→))＝(－3，t)，eq \o(PF,\s\up6(→))＝(－1－m，－n)， eq \o(OQ,\s\up6(→))·eq \o(PF,\s\up6(→))＝3＋3m－tn， ………7分 eq \o(OP,\s\up6(→))＝(m，n)，eq \o(PQ,\s\up6(→))＝(－3－m，t－n)，由eq \o(OP,\s\up6(→))·eq \o(PQ,\s\up6(→))＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，………9分 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以eq \o(OQ,\s\up6(→))·eq \o(PF,\s\up6(→))＝0，即eq \o(OQ,\s\up6(→))⊥eq \o(PF,\s\up6(→))，……11分 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以l过C的左焦点F. ……………12分 22 (1)解　f(x)的定义域(0，＋∞)， f′(x)＝eq \f(1,x)＋2ax＋2a＋1＝eq \f(（2ax＋1）（x＋1）,x). …………1分 若a≥0时，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增………2分 若a<0时，则当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))时，f′(x)>0；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))时，f′(x)<0. 故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))上单调递减.…………5分 (2)证明　由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－eq \f(1,2a)处取得最大值， 最大值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))－1－eq \f(1,4a)，所以f(x)≤－eq \f(3,4a)－2等价于 lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))－1－eq \f(1,4a)≤－eq \f(3,4a)－2，即lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＋eq \f(1,2a)＋1≤0，……………8分 设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝eq \f(1,x)－1.当x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0. 所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.…………10分 所以当x>0时，g(x)≤0，从而当a<0时，lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))＋eq \f(1,2a)＋1≤0， 即f(x)≤－eq \f(3,4a)－2. ………………12分 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 � 用水量（吨） 0.08 0.16 0.30 0.44 0.50 PAGE $