上海市第八中学2013年高二数学沪教版下册《第十二章 圆锥曲线》学案（9份）

12.2（1）圆的方程 一、基本知识点 1.圆的方程 （1）圆的标准方程 圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为（x－a）2+（y－b）2=r2. 说明：方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程 二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*） 将（*）式配方得 （x+ ）2+（y+ ）2= . 当D2+E2－4F＞0时，方程（*）表示圆心（－ ，－ ），半径r= EMBED Equation.3 的圆，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F＞0）叫做圆的一般方程. 说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点： a.x2、y2项系数相等且不为零. b.没有xy项. （2）当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（－ ，－ ），当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形. （3）据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. 2、圆的方程的求解方法 确定圆心和半径，就可以确定圆的方程。 二、典型例题 例1、根据圆的方程写出圆心和半径 （1） ； （2） ； （3） 例2、求满足下列条件的圆的方程 （1）、过直线x+3y+7=0与3x-2y-12=0的交点，圆心为C(-1，1)的圆的方程为 。 （2）、 圆的直径端点为(2，0)，(2，-2)，则此圆方程为 。 （3）、过点A(2，-3)，B(-2，-5)，圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程为 。 （4）经过三点（2，2）、（1，0）、（3，0）则此圆方程为 。 （5）以C(1,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切，则此圆方程为 。 例3、 造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线。由于这条圆弧的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因此需要先求这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线。已知圆弧AB的半径为r=29，圆弧AB所对的弦长l=12米，以米为单位，建立适当的直角坐标系，并求圆弧AB的方程。（答案中的数据精确到0.01） 三、课后练习． 根据下列条件，求圆的方程： 1、过原点Q（0,0）和点A（3，-1），且在 轴上截得的弦长为2 ; 2、过点A（5，2）和B（3，2），且圆心在直线 上. 3、过点 且与圆 相切的圆的方程； 4、过原点 和点 ，且在 轴上截得的弦长为2 ; 5、过点A（5，2）和B（3，2），且圆心在直线 上. 6、圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点(2，-1)。 7、圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切。 拓展：两圆x2+y2+4x－4y=0，x2+y2+2x－12=0相交于A、B两点，则直线AB的方程是 。 $$12．2（2）直线与圆的位置关系 一、基本知识点 1、直线与圆的位置关系及其判断 直线与圆相离：直线与圆无公共点(圆心到直线的距离d(r 直线与圆切：直线与圆只有一个公共点(圆心到直线的距离d=r 直线与圆相交：直线与圆有两个公共点(圆心到直线的距离d(r 2、圆的切线方程及其求解 （1）过圆 上一点P（x0，y0）的圆的切线方程是： 过圆 上一点P（x0，y0）的圆的切线方程是： （2）过圆外一点P（x0，y0）的圆的切线方程是有两条。一般设切线的点法向式方程，利用圆心到直线的距离等于半径来求解。 3、弦长问题 弦长公式：直线AB截圆所得弦长 |AB|= ，在直角三角形中利用勾股定理。 二、典型例题 例1、（1）求过点A（1,3）的圆x2+y2=1的切线方程。 （2）求过点A（1,3）的圆 的切线方程。 例2、已知圆C：(x－1)2+(y－2)2=25，直线 ：(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R) (1)证明不论m取什么实数，直线 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C截得的弦长最小时直线 的方程。 例3、过圆 (r>0)外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为M、N，证明直线MN的方程是 。 例4、若直线y=x+k与曲线 恰有一个公共点，求k的取值范围。 例5、过圆O： 外一点M（2，-6）作直线交圆O于A、B两点，求弦AB的中点C的轨迹. 三、课后练习 1、 若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a，b)的位置是 ( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能 2、如果圆x2+y2+ax+by+c=0与x轴相切于原点，那么 ( ) A.a=0，bc≠0 B.b=c=0，a≠0 C.a=c=0，b≠0 D.a=b=