上海市第八中学2013年高二数学沪教版下册《第十三章 复数》学案（5份）

§13、4 复数的乘法和除法 【知识点】 1、乘法运算规则：设 ， ， 是任意两个复数，那么它们的积 。 2、复数的乘法的运算律： 交换律： ；结合律： ； 分配律： 。 3、复数的乘方： ； EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 。 实数集中正整数指数幂的运算法则在复数集中仍成立。 4、 的正整数指数幂： ； ； ； 。 一般地， 时， ； ； ； 。 5、复数的除法： 设 ， ， 是任意两个复数 则 6、有关复数的几个重要结论： 1） ； ； ； ； 。 2）共轭复数的运算性质： ； ； ； ； ； ； 。 3）两个复数的和与差、积与商的模： ； ； ； 。 【例题】 例1：计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 例2：当n N﹡时，计算 n+（-i）n所有可能的取值。 例3：计算 例4：计算 例5：已知z是虚数，且z+ 是实数，求证： 是纯虚数. 例6、复数Z满足 =1，求 的取值范围。 例7、若复数z1≠ , = ,求 的值。 【习题】 一、计算1） ； 2） ； 3） ； 4） 。 二、1）已知 是虚数，且 是实数，求证： 是纯虚数。 2）已知 ， ，求证： 。 三、1）设 ，求 的值。 2）求 的值。 3）已知 ， ，求复数 的虚部。 4）设： EMBED Equation.DSMT4 ,求 的值。 四、1）若 ， ，且 为纯虚数，求 。 2）已知 ，且 ，求复数 。 3）已知复数 的实部与虚部之和等于1，求 。 4）已知 ，又 ，求复数 。 5）已知 为纯虚数，且 ，求复数 。 6）设 ， ，求复数 。 五、1）已知 ，且 为纯虚数，求 的最大值及当 取最大值时的 。 2）设 是虚数， 是实数，且 ，（1）求 的值及 的实部的取值范围；（2）设 ，求证 为纯虚数；（3） 的最小值。 $$ $$§13、1 复数的概念 【知识点】 1、虚数单位 ，它的平方等于 ，即 ； 2、复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示。 3、复数的代数形式:复数通常用字母 表示，即 ，把复数表示成 的形式，叫做复数的代数形式。复数 的实部记作 ，复数 的虚部记作 。 4、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数 ，当且仅当 时，复数 是实数 ；当 时，复数 叫做虚数；当 且 时， 叫做纯虚数；当且仅当 时， 就是实数0。 5、复数集与其它数集之间的关系： EMBED PBrush EMBED Equation.DSMT4 EMBED PBrush EMBED Equation.DSMT4 EMBED PBrush EMBED Equation.DSMT4 EMBED PBrush EMBED Equation.DSMT4 6、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。这就是说，如果 、 、 、 ，那么 。 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。 【例题】 1、当 为何实数时，复数 是：1）实数？2）虚数？3）纯虚数？4）为零？ 2、若 、 是实数， ，求 、 的值。 【习题】 一、1、请说出复数 的实部和虚部，有没有纯虚数？ 2、复数 的实部和虚部是什么？ 3、实数 取什么数值时，复数 是: (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 4、已知 ，其中 、 ，求 与 。 二、1、已知集合 ，集合 ， ，求实数 的值。 2、求满足方程 的实数对 表示的点的个数。 3、复数 ， ， ，求 的充要条件。 4、设复数 ， ，如果 是纯虚数，求 的值。 5、若方程 至少有一个实数根，试求实数 的值。 6、已知 ，复数 ，当 为何值时， 1) ；2) 是虚数；3) 是纯虚数；4) 。 7、已知复数 和 ，若 ，求 的取值范围。 8、若复数 不是纯虚数，求 的取值范围。 _1234567915.bin $$§13、3 复数的加法与减法 【知识点】 1、复数的加法：复数的加法法则：设： ， ， 是任意两个复数，则 。 即：实部之和作为和的实部，虚部之和作为和的虚部。 2、复数加法的运算律:交换律： ；结合律： 。 3、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。复数 的共轭复数用 来表示，即 时， 。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 1） ， 所对应的点 EMBED Equation.DSMT4 关于 轴对称； 2） ；3） ；4） 是纯虚数或 。 4、复数的减法： 复数的减法是加法的逆运算。两复数的差是惟一确定的复数。 差的实部等于被减数与减数的实部