2013年全国高考江苏卷第14题解析(PDF版）

【高考题 1】 (2013年高考数学江苏卷第 14题)在正项等比数列  } {  n a  中，  2  1  5 = a  ，  3 7 6 = + a a  ， 则满足  n n  a a a a a a  L L  2 1 2 1 > + + + 的最大正整数n的值为 ▲ 【解析】设公比为 q，则由条件得 q+q 2 =6,解得 q=2,所以 a1=  1  32 .  从而 a1+a2+…+an=  2 n －1  32  , a1a2…an=  ( 1)  2 1 ( ) 2  32  n n  n − ⋅  ,  即 2 n －1>  ( 1)( 10)  2 2  n n − −  .  （*） 而由 2 n >  ( 1)( 10)  2 2  n n − −  ,得 n 2 －13n+10<0,解得  13 129 13 129  2 2  n − + < <  ,  因为 n∈N*,所以 1≤n≤12.  代入(*)式检验，得最大正整数 n=12.  【点评】江苏卷的第 14 题终于重回正道，既维持了整卷的平稳，降低了试卷的难度，也为 中学数学教学指明了正确的方面。实在可喜可贺！从知识层面讲，立足 8 个 C 级之 一的等比数列，考查等差、等比数列的基本概念与基本运算；从能力层面看，要求 考生能灵活的求解非常规的不等式，考查考生转化与化归的能力。对于（*）式不等 式，需要通过放缩，先求出不等式成立的必要条件，再进行验证。当然，如果考生 对数式结构有强烈的整体意识，则可能通过心算求得正确的结论。实际上，a6=1,由 等比数列的性质知,a1a2…a11=1,因此,a1a2…a11a12=a12,故  a1+a2+…+a11+a12>a1a2…  a11a12,而当  n>12 时，an=2 n­6 >n,有  a1+a2+…+a12+…+an<a12a13…an=a1a2…a11a12…an.  故最大正整数 n 的值为 12。 【类题】(2010 年苏南四市调研)已知等比数列{an}中，a2>a3＝1，则使不等式(a1－  1  a1 )＋(a2  －  1  a2 )＋(a3－  1  a3 )＋…＋(an－  1  an )≥0 成立的最大自然数 n 是________．答案：5 $$