精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学2021届高三下学期第五次模拟考试理科数学试题

哈尔滨市第九中学2021届高三第五次模拟考试 （数学理科）试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知 是虚数单位，若复数，中 ， ，则 等于（ ） A. 1 B. 5 C. D. 13 2. 已知集合 ，集合 ，则集合 子集的个数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点 是角 的终边与单位圆的交点，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知 ， ， ，则“ ”是“ ”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量 ，若 ，则 （   ） A 4 B. 8 C. 12 D. 20 6. 为防止新冠肺炎疫情的传播，某高校在学生返校复课后，对在校的大一、大二、大三、大四四个年级的学生采取午餐错峰就餐的制度，午餐就餐时间为11:30—12:30和12:40—13:40两个时间段.该校共三个食堂，一食堂每次恰好容纳一个年级的人就餐，二食堂和三食堂每次只能容纳一个年级的一半人就餐（假定该校每个年级的在校生人数相同）.为了便于就餐，学生会把每个年级都分成人数相等、人员固定的两个组，把一食堂划分成餐位相等的两个区域，则该校学生就餐顺序和地点的不同安排情况（同一时间点在不同食堂或不同区域就餐视为不同的就餐方式）有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 已知 是双曲线 ： （ ， ）的右焦点，直线 与双曲线 及其渐近线在第三象限内的交点分别为 、 ．若 的面积为 ，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 9. 下列描述中正确命题的个数为（ ） （1）最小二乘法的原理是使得 最小 （2）样本相关系数 越大，相关程度越大 （3）设有一个回归方程 ，变量 增加一个单位时， 减少 个单位 A. B. C. D. 10. 我们把 EMBED Equation.DSMT4 叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设 ， ，设数列 的前 项和为 ，则使不等式 成立的正整数 的最小值是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数 ，若函数 EMBED Equation.DSMT4 与 的图像相交于 ， 两点，且 ， 两点的横坐标分别为 ， ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知 是抛物线 ： EMBED Equation.DSMT4 的焦点，直线 与抛物线 相交于 ， 两点，满足 ，记线段 的中点 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知 的平面直观图 是边长为 的正三角形，则原 的面积为______． 14. 已知函数 ，若 ，则 ______． 15. 若 ，则二项式 的展开式中的常数项为______． 16. 已知四棱锥 的侧棱 底面 ，且底面 为矩形，若 ， ， ，则下列说法正确的是______（填序号） （1）四棱锥 的四个侧面都是直角三角形； （2）四棱锥 的体积为 ； （3）异面直线 与 成角 ； （4）四棱锥 的内切球的半径为 ． 三、解答题（本题共6小题，共70分） 17. 在 中，角 ， ， 对边分别为 ， ， ，已知 ， （1）证明： 为钝角三角形； （2）若 的面积为 ，求 的值. 18. 如图，矩形 中， EMBED Equation.DSMT4 ，将其沿 翻折，使点 到达点 的位置，且二面角 为直二面角. （1）求证：平面 平面 ； （2）设 是 的中点，二面角 的平面角的大小为 ，当 时，求 的取值范围. 19. 设 、 分别是椭圆 的左、右焦点. （1）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值与最小值. （2）是否存在过点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，使得 ？若存在，求直线 的方程；若不存在，请说明理由. 20. 已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 恒成立，求实数 的最大值. 21. 某产品每件成本 元，买方收货前要进行质量检测，检测方案规定：每 件产品随机检测 件，若合格，按一等品付款，每件售价 元；若检测到次品，在剩余的产品中再随机检测 件，若合格则按一等品付款，每件售价 元；若仍然检测到次品，按二等品付款，每件售价 元.检测后的合格品需要重新包装，每件需花费 元；次品不再出售.若出售后发现一件一等品为次品需换货并支付售价的 倍