第二章 第七节 指数函数-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第七节 指数函数 知识回顾 1．指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R. 2．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 课前检测 1.【2021年上海青浦区高一上学期期末考试数学试卷】已知 ，，则函数 的图象必定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】【分析】：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项． ，， 的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过 ， 的图象可看成把 的图象向下平移 个单位得到的， 故函数 的图象经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限． 故选 A 【备注】先考查 的图象特征， 的图象可看成把 的图象向下平移 个单位得到的，即可得到 的图象特征． 本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想． 2．函数f(x)＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是________． 答案　④ 解析　函数f(x)的图象恒过(－1,0)点，只有图象④适合． 3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________． 答案　c<b<a 解析　∵y＝x是减函数， ∴>>0，即a>b>1， 又c＝<0＝1，∴c<b<a. 4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________． 解析：令x－2＝0，则x＝2， 此时f(x)＝1－3＝－2， 故函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点(2，－2)． 答案：(2，－2) 5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________． 解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数， ∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3. 答案：(2,3) 6．已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________；若函数f (x)为增函数，则f (x)的最大值为________． 答案　或　 解析　当0<a<1时，a－a2＝，∴a＝或a＝0(舍去)． 当a>1时，a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)． 综上所述，a＝或； 若f (x)为增函数，则a＝，此时f (x)max＝2＝. 课中讲解 考点一.指数型函数图像 例1.若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为__________． [解析]作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)． 变式1．(变条件)将本例改为若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________． 解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 例2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1. 答案：[－1,1] 变式2．(2020·南通质检)若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________． 答案　(－∞，0] 解析　函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]． 变式3．直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为__________． 解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的． 当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意； 当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜. 综上可知，a的取值范围是. 答案： 例3．已知函数f (x)＝|2x－1|，a<b<c且f (a)>f (c)>f (b)，则下列结论中，一定成立的是(　　) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2 答案　D 解析　作出函数f (x)＝|2x－1|的图象，如图， ∵a<b<c且f (a)>f (c)>f (b)，结合图象知， 0<f (a)<1，a<0