第三讲 截一个几何体-【暑假辅导班】2021年新七年级数学暑假精品课程（北师大版）

第三讲 截一个几何体 【学习目标】 会截几何体，在切截几何体的过程中，注意观察几何体的变化，在体与面的转化中积累你的数学活动经验，发展你的空间观念。 【基础知识】 1、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 【考点剖析】 考点一：用平面去截正方体 例1．用平面去截正方体. （1）截面形状能是三角形吗？如果能，请画出一种截法. （2）截面形状能是长方形吗？如果能，请画出一种截法. （3）截面形状能是梯形吗？如果能，请画出一种截法. （4）截面形状能是五边形吗？如果能，请画出一种截法. （5）截面形状能是六边形吗？如果能，请画出一种截法. （6）截面形状能是圆吗？为什么？ 【答案】（1）能，见解析；（2）能，见解析；（3）能，见解析；（4）能，见解析；（5）能，见解析；（6）不能，见解析. 【详解】 解：（1）能，如图1所示. （2）能，如图2所示. （3）能，如图3所示. （4）能，如图4所示. （5）能，如图5所示. 图1 图2 图3 图4 图5 （6）不能，因为正方体的各面都是平面，所以截正方体时，得到的交线都是直线，而圆是曲线围成的，所以截面形状不能是圆. 考点二：用平面去截其它立方体 例2．用平面截下列几何体，写出下列截面的形状． 【答案】见解析 【解析】 解：如图所示： 【真题演练】 1．一物体的外形为正方体，为探明其内部结构，用一组沿竖直方向（自左向右）的平面截这个物体，得到如图所示的一组截面，请你猜猜这个正方体的内部构造. 【答案】内部为底面相对的两个圆锥或为一个球体.（答案不唯一，合理即可） 【解析】 根据截面图形的变化规律，可得出这个正方体的内部构造为：内部为底面相对的两个圆锥或为一个球体. 2．说出图中几何体截面的形状. ① ② ③ ④ 【答案】见解析 【详解】 解：①是长方形；②是圆；③是梯形；④是长方形. 3．一个圆柱的底面半径是6cm，高是12cm，如果用一个平面去截这个圆柱，截面能是正方形吗？如果能，请画图说明你的截法，并求这个正方形的面积；如果不能，请说明理由. 【答案】能，见解析，正方形的面积为 . 【详解】 解：截面能是正方形.经过底面圆心，顺着圆柱高的方向截圆柱，截面即为边长为12cm的正方形. 正方形的面积为 . 4．（1）用一个平面去截一个三棱柱，截面的边数最多是？ （2）用一个平面去截一个四棱柱，截面的边数最多是？ （3）用一个平面去截一个五棱柱，截面的边数最多是？ （4）用一个平面去截一个n棱柱，截面的边数最多是？ 【答案】（1）5；（2）6；（3）7；（4）n＋2. 【解析】 （1）用一个平面截三棱柱，截面形状可能有:三角形或四边形或五边形，边数最多是5； （2）用一个平面截四棱柱，截面形状可能有:三角形或四边形或五边形或六边形，边数最多是6； （3）用一个平面截五棱柱，截面形状可能有:三角形或四边形或五边形或六边形或七边形，边数最多是7； （4）用平面截棱柱，规律为: ①截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关； ②截面经过几个面，得到的形状就是几边形. 所以:用一个平面去截一个n棱柱，截面的边数最多是(n＋2). 故本题的答案是:（1）5；（2）6；（3）7；（4）n＋2. 6．如图所示的是一个三棱柱，用一个平面先后三次截这个三棱柱． 截得的截面能否是三个与该三棱柱的底面大小相同的三角形？若能，画图说明你的截法． 截得的截面能否是三个长相等的长方形？若能，画图说明你的截法； 截得的截面能否是梯形？若能．画图说明你的一种截法． 【答案】（1）能，图示见解析；（2）能，图示见解析；（3）能，图示见解析. 【解析】 能；如图①所示； 能；如图②所示； 能；如图③所示． 7．如图所示，说出下列几何体截面（阴影部分）的形状． 【答案】见解析. 【解析】 可以得到三角形截面； 沿圆锥的高线切割，可得到等腰三角形截面； 沿正方体的对角线切割，可得到长方形截面； 截面与底平行，可以得到圆形截面． 8．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如：A(1，5，6)，则B(________)；C(________)；D(________)． 【答案】B(1，2，3，4)；C(5)；D(3，5，6)． 【解析】 B（正方体）的截面图形可能有（1，2，3，4）；C（球体）的截面图形可能有（5）；D（圆柱）的截面图形可能有（3，5，6）. 故答案为：B(1，2，3，4)；C(5)；D(3，5，6)． 9．一个圆柱的底面半径是10 cm，高是18 cm，把这个圆柱放在水平桌面上，如图所示． (1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么