对点练8 基本不等式及其应用-2022老高考理科数学高频考点突破练

对点练8　基本不等式及其应用 1．B　f(x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(1,x)))≤－2 eq \r(（－x）·\f(1,－x))＝－2，故选B. 2．C　当x＜0时，y＝x＋eq \f(4,x)≤－4，排除A；∵0＜x＜π， ∴0＜sin x≤1，y＝sin x＋eq \f(4,sin x)≥4，但sin x＝eq \f(4,sin x)无解，排除B；由ex＞0得y＝ex＋4e－x≥4，等号仅在ex＝eq \f(4,ex)，即ex＝2时成立，此时x＝ln 2，C正确；D中，x＞0且x≠1，若0＜x＜1，则log3x＜0，logx81＜0，∴排除D，故选C. 3．C　当x＞0时，x＋eq \f(1,x)≥2 eq \r(x·\f(1,x))＝2. ∵x，eq \f(1,x)同号，∴x＋eq \f(1,x)≥2，则x＞0，eq \f(1,x)＞0， ∴“x＞0”是“x＋eq \f(1,x)≥2”的充要条件，故选C. 4．D　y＝eq \f(（x＋1）2＋1,x＋1)＝(x＋1)＋eq \f(1,x＋1)≥2， 当且仅当x＝0时取最小值，故选D. 5．A　∵a＋b≥2eq \r(ab)，当且仅当a＝b时取等号，∴ab＝a＋b＋3≥2eq \r(ab)＋3，解不等式可得eq \r(ab)≥3或eq \r(ab)≤－1(舍)，则ab≥9，故选A. 6．C　∵a＞0，b＞0，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋2eq \r(ab)≥2eq \r(\f(1,ab))＋2eq \r(ab) ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,ab))＋\r(ab)))≥4 eq \r(\r(\f(1,ab))·\r(ab))＝4， 当且仅当eq \f(1,a)＝eq \f(1,b)，且 eq \r(\f(1,ab))＝eq \r(ab)，即a＝b＝1时取等号，故选C. 7．D　eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,2)(x＋4y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(x,y)＋\f(8y,x))). ∵x，y都是正数，∴由基本不等式可得， eq \f(x,y)＋eq \f(8y,x)≥2 eq \r(\f(x,y)·\f(8y,x))＝4eq \r(2)，当且仅当eq \f(x,y)＝eq \f(8y,x)， 即x＝2eq \r(2)－2，y＝eq \f(2－\r(2),2)时等号成立． ∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)≥3＋2eq \r(2)， 故eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的最小值为3＋2eq \r(2)，故选D. 8．D　由|AC|＝a，|BC|＝b，且a≠b，可得半圆O的半径|DO|＝eq \f(a＋b,2)，易得|DC|＝ eq \r(|AC|·|BC|)＝eq \r(ab)，|DE|＝eq \f(|DC|2,|DO|)＝eq \f(2ab,a＋b). ∵|DE|＜|DC|＜|DO|， ∴eq \f(2ab,a＋b)＜eq \r(ab)＜eq \f(a＋b,2)(a＞0，b＞0，a≠b)，故选D. 9．B　∵a，b∈(0，＋∞)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)≥ab， 可得eq \f(1,ab)≥eq \f(4,（a＋b）2)，当且仅当a＝b时取等号． ∵1＋eq \f(2,ab)＝eq \f(9,a＋b)，∴eq \f(9,a＋b)－1＝eq \f(2,ab)≥eq \f(8,（a＋b）2)， 化为(a＋b)2－9(a＋b)＋8≤0，解得1≤a＋b≤8， 当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)或a＝b＝4时取等号， ∴a＋b的取值范围是[1，8]，故选B. 10．C　∵a＋b＝3，∴(a－2)＋b＝1， 则eq \f(1,a－2)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－2)＋\f(1,b)))×[(a－2)＋b] ＝2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)＋\f(a－2,b)))， 又由a＞2，b＞0， 则eq \f(b,a－2)＋eq \f(a－2,b)≥2× eq \r(\f(b,a－2)·\f(a－2,b))＝2， 得eq \f(1,a－2)＋eq \f(1,b)＝2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)＋\f(a－2,