对点练6 一元二次不等式及其解法-2022老高考理科数学高频考点突破练

对点练6　一元二次不等式及其解法 1．B　∵A＝{x|x2－x－2＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}， ∴∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B. 2．A　关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，等价于不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0恒成立．当a＝2时，对于一切实数x，不等式－4＜0恒成立；当a≠2时，要使不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0恒成立，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2＜0，,[2（a－2）]2－4（a－2）×（－4）＜0，))解得－2＜a＜2. 综上可得，实数a的取值范围是(－2，2]，故选A. 3．A　解法一　当x＞0时，不等式为x(1－2x)＞0， 解得0＜x＜eq \f(1,2)； 当x＜0时，不等式为－x(1－2x)＞0， 即x(2x－1)＞0，解得x＜0. 综上可得，原不等式的解集为(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，故选A. 解法二　很明显|x|≥0，则原不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2x＞0，,x≠0，))解得x∈(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，故选A. 4．A　对于p，eq \f(1,a)＞eq \f(1,4)，即eq \f(a－4,4a)＜0，解得0＜a＜4； 对于q，当a＝0时，显然ax2＋ax＋1＞0成立； 当a≠0时，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝a2－4a＜0，))解得0＜a＜4， 综上，0≤a＜4. 由于(0，4)[0，4)， 故p成立是q成立的充分不必要条件，故选A. 5．A　设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0. 由于不等式f(x)＞－2x的解集为(1，3)， 即关于x的一元二次不等式ax2＋(b＋2)x＋c＞0的解集为(1，3)， 则a＜0，1，3为关于x的一元二次方程ax2＋(b＋2)x＋c＝0的两根， ∴－eq \f(b＋2,a)＝1＋3＝4，eq \f(c,a)＝1×3＝3，∴b＝－4a－2，c＝3a， ∴f(x)＝ax2－(4a＋2)x＋3a. ∵关于x的二次方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根， ∴关于x的一元二次方程ax2－(4a＋2)x＋9a＝0有两个相等的根， 则Δ＝(4a＋2)2－36a2＝(10a＋2)(2－2a)＝0， 解得a＝－eq \f(1,5)或a＝1. ∵a＜0，∴a＝－eq \f(1,5)，故选A. 6．A　由题意知关于x的方程(x＋b)[(a－1)x＋(1－b)]＝0的实数根为－1和3，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（b－1）（2－a－b）＝0，,（b＋3）（3a－b－2）＝0，)) 解得a＝5，b＝－3(a＝b＝1舍去)．则不等式x2＋bx－2a＜0即为x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5，故不等式x2＋bx－2a＜0的解集为(－2，5)，故选A. 7．B　由题意知x1，x2是关于x的方程x2－2ax－8a2＝0(a＜0)的实数根，且Δ＝4a2＋32a2＞0，x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.∵x2－x1＝15，∴152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝36a2. 又a＜0，∴a＝－eq \f(5,2)，故选B. 8．A　解法一　当x∈(0，2]时，不等式可化为ax＋eq \f(3a,x)＜2. 当a＝0时，不等式为0＜2，满足题意； 当a＞0时，不等式化为x＋eq \f(3,x)＜eq \f(2,a)，则eq \f(2,a)＞x＋eq \f(3,x)≥2 eq \r(x·\f(3,x))＝2eq \r(3)，当且仅当x＝eq \r(3)时取等号．要使x＋eq \f(3,x)＜eq \f(2,a)有解，只需eq \f(2,a)＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,x))) eq \s\do7(min)即可，即eq \f(2,a)＞2eq \r(3)，a＜eq \f(\r(3),3)，故0＜a＜eq \f(\r(3),3)；当a＜0时，x＋eq \f(3,x)＞eq \f(2,a)恒成立． 综上所述，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(3),3)))，故选A. 解法二　设g(x)＝ax2－2x＋3a，x∈(0，2]． 当a＝0时，g(x)＝－2x＜0，满足题意； 当a＜0时，函数y＝g(x)图象的对称轴为x＝eq \f(1,a)＜0，在(0，2]上为减函数，且g(0)＝3a＜0，即g(x)＜0，满足题意； 当a＞0时，满足eq \b\lc\{(\a\v