第8讲 平面向量的线性运算-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第8讲 平面向量的线性运算 【学习目标】 平面向量的线性运算是九年级数学上学期第一章第四节的内容．在八年级下学期第三章第四节“平面向量及其加减运算”中，我们学习了平面向量的相关概念和加减运算的法则，本节的学习需要建立在此基础上．本讲主要讲解实数与向量相乘，以及向量的线性运算，重点是平面向量的有关概念及线性运算，难点是在几何图形中对目标向量进行线性表示． 【基础知识】 一：实数与向量相乘 1.平面向量的相关概念 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量； 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 ； 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 2.平面向量的加减法则 几个向量相加的多边形法则； 向量减法的三角形法则； 向量加法的平行四边形法则． 3.实数与向量相乘的运算 设k是一个实数， 是向量，那么k与 相乘所得的积是一个向量，记作 ． 如果 ，且 ，那么 的长度 ； 的方向：当k > 0时 与 同方向；当k < 0时 与 反方向． 如果k = 0或 ，那么 ． 4.实数与向量相乘的运算律 设m、n为实数，则 ； ； ． 平行向量定理 如果向量 与非零向量 平行，那么存在唯一的实数m，使 ． 5.单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设 为单位向量，则 ． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量 ，与它同方向的单位向量记作 ． 由实数与向量的乘积可知： ， ． 二：向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算． 如 、 、 、 等，都是向量的线性运算． 一般来说，如果 、 是两个不平行的向量， 是平面内的一个向量，那么 可以用 、 表示，并且通常将其表达式整理成 的形式，其中x、y是实数． 2.向量的合成与分解 如果 、 是两个不平行的向量， （m、n是实数），那么向量 就是向量 与 的合成；也可以说向量 分解为 、 两个向量，这时，向量 与 是向量 分别在 、 方向上的分向量， 是向量 关于 、 的分解式． 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解． 【考点剖析】 考点一：实数与向量相乘 例1．下列命题中的假命题是（ ） （A）向量 与 的长度相等 （B）两个相等向量若起点相同，则终点必相同 （C）只有零向量的长度等于0 （D）平行的单位向量都相等 【难度】★ 【答案】D 【解析】D选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量． 【总结】此题主要考查向量的相关概念． 例2．填空： ； ； ； ； ； ． 【难度】★ 【答案】 ； ； ； ； ； ． 【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如 是利用减法法则，箭头指向被减数，同时 ，这样运算复杂了，但也是一种思路． 【总结】此题主要考查向量的加减运算法则． 例3．如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O．设 ， ，试用 、 表示下列向量： ， ， ， ， ， ． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】利用平行四边形对边平行且相等,对角线互相平分的性质来求解以上向量: ； ； ； ； ； ． 【总结】此题主要考查向量的加减运算法则． 例4．计算： ； ； ． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】（1） ； （2） ； （3） ． 【总结】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则． 例5．用单位向量 表示下列向量： （1） 与 方向相同，且长度为9； （2） 与 方向相反，且长度为5； （3） 与 方向相反，且长度为 ． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】此题主要考查用单位向量 来表示已知向量, ． 例6．如图，已知点D、E分别在 的边AB、AC上，DE//BC，AD = 4，BD = 7，试用向量 表示向量 ． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】∵ ，∴ ，又∵ ， ∴ ．∴ ． 【总结】此题主要是将向量与三角形一边平行线的性质结合起来，在用已知向量表示未知向量时一定要注意方向是否相同． 例7．下列说法中，正确的是（ ） A．一个向量与零相乘，乘积为零 B．向量不能与无理数相乘 C．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短 D．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反 【难度】★★ 【答案】D 【解析】A选项向量与零相乘，结果是零向量；B选项向量可以与任何实数相乘；C选项非零向量乘以一个负数，方向与原向量相反，长度不确定． 【总结】此题主要考查实数与向量相乘的法则． 例8．如图，在平行四边形ABC