必修四 第二章 平面向量 综合复习单元检测 2020-2021学年人教A版高一下学期数学期末复习

必修四第二章平面向量期末综合复习卷 一、单选题 1．已知向量 ，且 ， ， ，则一定共线的三点是( ) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 2．下列算式中，正确的个数为（ ） ① ； ② ； ③ . A． B． C． D． 3．若向量 =(1，0)，| |=2， ·( + )=2，则向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 4．已知向量 ， ， ，则 ＝（ ） A． B．5 C． D．7 5．已知两个单位向量 夹角为 ，且向量 与 相互垂直，则 的值为（ ） A． B． C．2 D．1或 6．已知在 中，点M为 上的点，且 ，若 ，则 （ ） A．1 B． C． D． 7．若O为 所在平面内一点，且满足 ，则 的形状为（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 8．如图 中， 的平分线交 的外接圆于点 ，则 （ ） A． B． C． D． 9．设 ， 是边 上一定点，满足 ，且对于边 上任一点P，恒有 .则（ ） A． B． C． D． 10． 中， ， ， ，点 ， 是边 的三等分点，则 （ ） A．4 B． C．5 D． 11．已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是（ ） A．1 B．2 C． D． 12．如图，在等边 中， ，向量 在向量 上的 投影向量为（ ） A． EMBED Equation.DSMT4 B． EMBED Equation.DSMT4 C． EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4 二、填空题 13．已知点M(x，y)在向量 ＝(1，2)所在的直线上，则x，y所满足的条件为________． 14．已知向量 ， ，且 ，则 ___________. 15．已知 ，若对任意实数 ，点P都满足 ，则 的最小值为________． 16．如图，在△ABC中， ， ， ，直线FM交AE于点G，直线MC交AE于点N，若△MNG是边长为1的等边三角形，则 ___________. 三、解答题 17．已知平面内三个向量： ． ． （1）若 ∥ ，求实数 ； （2）若 ⊥ ，求实数 ． 18．已知单位向量 的夹角为 ． （I）若 与 垂直，求 的值； （Ⅱ）若向量 满足 ，求 的最大值． 19．已知点O(0，0)，A(1，2). （1）若点B(3t，3t)， ＝ ，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ （2）若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由. 20．已知向量 ，满足 ， （1）若 ，求 的值； （2）若 的夹角为 ，求 与 的夹角的余弦值． 21．已知函数 ，点 ，点 ，和函数 图象上的点 ．过B作直线 的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）若 ，求 （最后结果用a表示）； （Ⅱ）若 恒成立，求a的取值范围． 22．如图，在直角梯形 中， 为 上靠近B的三等分点， 交 于 为线段 上的一个动点． （1）用 和 表示 ； （2）求 ； （3）设 ，求 的取值范围． 参考答案 1．A 【分析】 计算某两个向量的和，与和向量共线的另一向量，即得结论. 【详解】 ∵ ， ， ， 又 ，所以 ，即 // ，而 有公共点B， ∴A，B，D三点共线，A选项正确； ，显然 两两不共线，选项B，C，D都不正确. 故选：A 2．C 【分析】 由平面向量的线性运算和数乘运算可判断①②③的正误. 【详解】 对于①， ，①正确； 对于②， ，②正确； 对于③， ，③错误. 故选：C. 3．C 【分析】 先求出 ，直接利用夹角公式求夹角. 【详解】 由已知可得 ，得 ，设向量 与 的夹角为θ， 则 ， 因为 ，所以向量 与 的夹角为 . 故选：C. 【点睛】 （1）求向量夹角通常用夹角公式； （2）要注意夹角的范围： . 4．C 【分析】 由向量数量积的坐标运算量求出 ，再结合 求出 ，根据向量的模的定义式求出 . 【详解】 由 得 ，即 ， 又因为 ，所以 ， 则 . 故选：C. 5．A 【分析】 根据向量垂直得其数量积为零，展开计算即可求得结果． 【详解】 得 ． 故选：A 6．B 【分析】 用 表示出 ，求得 后可得． 【详解】 因为 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 又 ，所以 ， 所以 ． 故选：B． 7．B 【分析】 由平面向量的线性运算，把给定的等式转化为用含 的边的向量等式，再由模的意义即可得解. 【详解】 中， 因 与 均为非零向量，则 ，即 ， 是直角三角形. 故选：B 8．D 【分析】 连接BO、DO、BD，根据题意，可得四边形ABDO为菱形，即可求得各个边长可角度，又 ，根据数量积公式，即可求得答案. 【详解】 连接BO、DO、BD，如图所示： 由题意得： ，AD为 的平分线， 所以四边形ABDO为菱形，即 ， 又 ，所以 ， 所以 ， 又 ， 所以 = = . 故选：D 9．D 【分析】 取 的中点D，由极化恒等式可得 ， ，从而可得 ，即可得出 ，由 ，得出答案. 【详解】 如图，取 的中点D， 由极化恒等式可得： ， 同理， ，由于 ， 则 ，所以 ， 因为 ，D是 的中点，于是 . 故选：D. 10．D 【分析】 先证明出 ，建立直角坐标系，用向量法计算. 【详解】 中， ， ， ，所以 ,所以 . 建立如图示的坐标系，则 因为点 ， 是边 的三等分点，所以 , 所以 , 所以 . 故选：D 【点睛】 向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单． 11．C 【分析】 根据极化恒等式可得 ，再根据向量垂直，结合图形可得点C的轨迹是以D为圆心， 为半径的圆，即可得到答案； 【详解】 解： ， 可得 . 结合图形，设 ，D为线段 的中点，易知 ，则点C的轨迹是以D为圆心， 为半径的圆，则 取最大值时，即 为圆的直径，即得 . 故选：C. 【点睛】 本题考查极化恒等式与平面解析几何中轨迹问题的交会，求解时要注意数形结合思想的运用，减少运算量. 12．D 【分析】 将向量 用 表示，求得模长及 ，从而利用投影公式求得向量 在向量上的 投影向量即可. 【详解】 由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a， 则 ， ， ， 则向量 在向量上的 投影向量为： ， 故选：D 【点睛】 关键点点睛：表示出 ，计算得到 ，利用投影公式求解. 13．y＝2x. 【分析】 根据向量共线定理的坐标公式求解即可. 【详解】 ∵M在向量 所在的直线上，∴ ∥ . 又 ＝(x，y)， ＝(1，2)， ∴2x－y＝0，即y＝2x. 故答案为：y＝2x. 14． 【分析】 本题首先可根据 求出 以及 ，然后求出 ，最后根据向量的模的相关性质即可得出结果. 【详解】 因为 ， ， ， 所以 ， ， ， 则 ， ， 故答案为： . 15． 【分析】 设 ，用坐标表示出已知不等式，得 的关系，然后计算 ，利用不等式性质得最小值． 【详解】 设 ， ， 则 ，所以 对任意实数 恒成立，所以 ，即 或 ， ．当 时取等号． 故答案为： ． 【点睛】 关键点点睛：本题考查考查向量的数量积的最值．解题关键是设 ，用坐标表示出已知不等式，得 的不等关系，从而可计算出 ，然后由不等式性质得最值． 16． 【分析】 假设 ，首先根据向量共线求得 ，同理得 ， ，最后由于 ， ,从而计算 即可. 【详解】 解：设 ， 而 ， 所以 ， ， 因为 ，所以 ， 得 ， 所以 . 同理 ，所以 . ， ， , 所以 . 【点睛】 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 17．（1） （2） 【详解】 （1） ∥ （2） ⊥ 18．（I） ；（Ⅱ） 【分析】 （I）由已知可得 ，计算可得 的值； （Ⅱ）设 ，以 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，利用坐标得出 的轨迹，利用几何意义可得 的最大值． 【详解】 （I） 与 垂直，则 ，化简得 ，即 ， 解得 （Ⅱ）设 ，以 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图 则 ，设 由 ，可得 化简得 ，即 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆 则 的最大值为 【点睛】 关键点点睛：本题考查平面向量数量积的应用，考查数量积的坐标表示，解决本题的关键点是由已知条件，得出 的轨迹为圆，利用圆的性质求出最大值，考查学生数形结合能力和计算能力，属于中档题． 19．（1）答案见解析；（2）不能，理由见解析. 【分析】 （1）首先求出 的坐标，再根据 的位置，得到方程或不等式组，解得即可； （2）表示出 ， ,若四边形 为平行四边形，则 ，得到方程组，即可判断； 【详解】 解：（1） ， 若点P在x轴上，则 ，∴ . 若点P在y轴上，则 ，∴ . 若点P在第二象限，则 ，∴ . （2）因为 ， . 若四边形 为平行四边形，则 ， ∴ 该方程组无解. 故四边形 不能成为平行四边形. 20．（1） ；（2） . 【分析】 （1）根据向量共线，分别讨论夹角为 的情况并根据向量的数量积计算公式 求解出结果； （2）采用先平方再开根号的方法计算出 的值，然后根据向量夹角的余弦值计算公式求解出结果. 【详解】 （1）因为 ，所以 或 ， 当 时， ， 当 ， ， 所以 的值为 ； （2）因为 ， ， 所以 . 【点睛】 关键点点睛：已知 ，求解形如 的向量的模长，采用先平方再开根号的方法进行求解： . 21．（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）利用向量数量积的坐标运算即可求解. （Ⅱ）利用向量数量积的几何意义可得 ，再由向量数量积的坐标运算可得 ，构造函数 ，根据 ，求出 ，再由二次函数的性质得出 ，证明 即可. 【详解】 （Ⅰ）若 ，则 ， ， 所以 ， （Ⅱ） 点 在 上，记 ， ， 记 ， 由题意可知 恒成立， 令 ，则 ，解得 ， 下面证明当 时， 恒成立，即 ， 是开口向上的二次函数， ① ， ② ， 令 ，则 ， 所以当 时， 恒成立， 故a的取值范围为 . 【点睛】 关键点点睛：本题考查了向量数量积的几何意义、向量数量积的坐标运算，解题的关键是将不等式恒成立转化为 恒成立，考查了数学运算以及转化为能力. 22．(1) ；(2)3；(3) . 【分析】 (1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得； (2)选定一组基向量， 将由这一组基向量的唯一表示出而得解； (3)由动点P设出 ，结合平面向量基本定理， 建立为x的函数求解. 【详解】 (1)依题意 ， ， ， ； (2)因 交 于D， 由(1)知 ， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知， ，则 ， ， ； (3)由已知 ， 因P是线段BC上动点，则令 ， ， 又 不共线，则有 ， ， 在 上递增， 所以 ， 故 的取值范围是 . 【点睛】 由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 试卷第1 = 1 页，总3 = 3 页 $