专题08 导数的综合应用（解答题）（一轮复习）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）》

专题08 导数的综合应用（解答题） 1．已知e是自然对数的底数，函数（，且）． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，函数的极大值为，求a的值． 【试题来源】【新东方】高中数学20210527-007【2021】【高二下】 【答案】（1）增区间为；减区间为 ．（2）． 【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间； （2）先求得的极大值，解方程可得的值． 【解析】（1）显然，的定义域为． 对求导得，当时，， 由得或；由得． 所以，的增区间为；减区间为． （2）由（1）知，，令得或2，又，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以，在处有极大值，令，得． 2．已知（e为自然对数的底数） （1）求函数的最大值； （2）设，若对任意，总存在．使得，求实数a的取值范围． 【试题来源】【新东方】高中数学20210527-007【2021】【高二下】 【答案】（1）0；（2） 【解析】（1），， 令，解得；令，解得， 在单调递增，在单调递减，； （2）对任意，总存在．使得等价于， 由（1）， 则问题转化为在恒成立，化得， 令，则， 当时，，得，在单调递增， ，则，即， 故的取值范围为 【名师点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将问题转化为，即在恒成立． 3．设函数，其中为自然对数的底数． （1）求的单调区间； （2）当时，恒成立，求证：． 【试题来源】【新东方】高中数学20210527-013【2021】【高二下】 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1），． ， 时，，函数在上单调递增． 时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）恒成立，． ，由（1）可得的最小值为． ，， 要证明，即证明：即可． 令，，在上单调递减， ，（1）， 因此存在唯一，，使得． 且， 所以函数在处取得最大值， ．因此结论成立． 4．已知函数，，． （1）当时，，求的取值范围； （2）证明：当时，． 【试题来源】河南省济源市、平顶山市、许昌市2021届高三三模 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）当时，，即， 即， 设，则， 所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以，则．所以实数的取值范围为； （2）证明：因为，所以， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 令，则， 易知在单调递增，在单调递减，所以， 又两个等号不同时成立，故当时，． 【名师点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立求参数取值范围问题和证明不等式问题，属中档题，分离参数法是研究不等式恒成立求参数取值范围的主要方法之一，两边分别求最值是证明关于关于指数对数的大小比较的不等式的常用的方法，比较巧妙，注意体会和掌握． 5．已知函数，． （1）判断函数的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第九次考前适应性训练 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【分析】（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间； （2）先证明出当时，，然后对实数的取值进行分类讨论，分析是否恒成立，综合可得出实数的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为，， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得． 若，则，此时函数单调递减， 若，则，此时函数单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）先证明当时，，当时，． 设，，则，在上单调递增， 所以，所以，即． 由（1）可知，当时，在上单调递增，所以成立； 当时，，且在上单调递增，所以成立； 当时，，在上单调递减，在上单调递增，则与的大小关系不确定，不合乎题意． 综上所述，实数的取值范围为． 6．已知函数，其中为常数． （1）当时，求的极值； （2）当时，求证：对，且，，不等式恒成立． 【试题来源】安徽省马鞍山市2021届高三下学期第二次教学质量监测 【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）证明见解析． 【解析】（1）当时，，， 所以当时，，即在上单调减； 当时，，即在上单调增． 所以的极小值为，无极大值； （2）证明：根据题意，要证明对，，且， 等价于证明． 设， 由单调性的定义得要证明原不等式等价于证明在上单调递减，即证在上恒成立， 即证，因为，所以， 所以只需证明等价于证明． 设，令，则，， 只需证当时，．因为，所以单调递减， 所以，故原不等式成立． 7．已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【试题来源】河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（四）（5月）文数试题 【答案】（1）单调递减区间为；（2）． 【解析】（1）由题可知． 令，得，从而， 所以的单调递减区间为． （2）由可得，