专题08 导数的综合应用（解答题）（一轮复习）-2020-2021学年高二《新题速递•数学》（人教A版2019）

专题08 导数的综合应用（解答题） 1．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）是否存在实数a，使得有两个零点？说明理由． 【试题来源】安徽省合肥市第六中学2021届高三下学期高考考前诊断暨预测卷 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）存在；答案见解析． 【解析】（1）函数的定义域为， ，令，则，． （ⅰ）若，则恒成立，所以在上是增函数． （ⅱ）若，则，当时，；当时，． （ⅲ）若，则，当时，；当时，． 综上所述；当时，在上是增函数； 当，在，上是增函数，在上是减函数； 当时，在，上是增函数，在上是减函数． （2）由（1）知（ⅰ）当时，在上是增函数，至多一个零点． （ⅱ）当，在，上是增函数，在上是减函数． 此时，所以至多一个零点． （ⅲ）当时，在，上是增函数，在上是减函数． 此时， 由， 所以存在一个，使． ， 若存在两个零点，则有解即可． 设， ， 所以在上是增函数，由，， 所以存在一个，使得，， 综上，存在，使得有两个零点． 【名师点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2．已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【试题来源】河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（四）（5月）文数试题 【答案】（1）单调递减区间为；（2）． 【解析】（1）由题可知． 令，得，从而， 所以的单调递减区间为． （2）由可得， 即当时，恒成立． 设，则． 令，则当时，． 所以当时，单调递增，， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以，所以． 【名师点睛】在函数中，恒成立问题，可选择参变分离的方法，分离出参数转化为或，转化为求函数的最值求出的范围． 3．已知函数，，． （1）设，求函数的单调区间； （2）设，当函数有两个零点时，求实数的取值范围． 【试题来源】陕西省2021届高三下学期教学质量检测测评（六） 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）． 【分析】（1）先求出函数，再利用导数求函数的单调区间得解； （2）转化为函数的图象与函数的图象有两个交点，令，求出函数的单调性，分析其图象得解． 【解析】（1）因为，其定义域为，所以 ． 令，得到当时，函数单调递增： ，得到当时，函数单调递减， 所以函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为． （2）因为， 所以函数有两个零点可转化为关于的方程有两个实数解， 即函数的图象与函数的图象有两个交点． 令，其定义域为， 则，令，解得． 易知当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以． 又当时，；当时，， 所以当函数的图象与函数的图象有两个交点时，， 解得，所以实数的取值范围是． 4．已知函数，，． （1）当时，，求的取值范围； （2）证明：当时，． 【试题来源】河南省济源市、平顶山市、许昌市2021届高三三模 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）当时，，即， 即， 设，则， 所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以，则．所以实数的取值范围为； （2）证明：因为，所以， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 令，则， 易知在单调递增，在单调递减，所以， 又两个等号不同时成立，故当时，． 【名师点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立求参数取值范围问题和证明不等式问题，属中档题，分离参数法是研究不等式恒成立求参数取值范围的主要方法之一，两边分别求最值是证明关于关于指数对数的大小比较的不等式的常用的方法，比较巧妙，注意体会和掌握． 5．已知e是自然对数的底数，函数（，且）． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，函数的极大值为，求a的值． 【试题来源】【新东方】高中数学20210527-007【2021】【高二下】 【答案】（1）增区间为；减区间为 ．（2）． 【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间； （2）先求得的极大值，解方程可得的值． 【解析】（1）显然，的定义域为． 对求导得，当时，， 由得或；由得． 所以，的增区间为；减区间为． （2）由（1）知，，令得或2，又，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以，在处有极大值，令，得． 6．已知函数， （1）若函数(其中：为的导数)有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）当时，求证：． 【试题来源】广东省汕头市2021届高三二模 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）依题意知，， ，， 有两个极值点，在有两个变号零点， 令得①， 关于的一元二次方程有两个不等的正根，记为， 即，解得，， 故的取值范围为． 法1：(二)