专题07 导数的综合应用（选择与填空）（一轮复习）-2020-2021学年高二《新题速递•数学》（人教A版2019）

专题07 导数的综合应用（选择与填空） 一、单选题 1．函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【试题来源】【新东方】高中数学20210527-002【2021】【高二下】 【答案】B 【分析】根据导函数与函数之间关系，只需根据图象找的单调递减区间即可． 【解析】根据导函数与函数之间关系，不等式满足单调递减， 则根据图象可得在单调递减， 则不等式的解集为．故选B． 2．某地区为落实乡村振兴战略，帮助农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究其价格模拟函数为，（，其中表示5月1日，表示6月1日，以此类推）．若，为保护农户的经济效应，当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为 A．5月和6月 B．6月和7月 C．7月和8月 D．8月和9月 【试题来源】山东省潍坊市2021届高三三模 【答案】B 【分析】根据条件求得参数n，求导求得函数单调性，根据单减区间判断价格下跌的月份． 【解析】，故，，， 则， 则时，单增；时，单减；时，单增； 则和2时，处在中期，出现价格下跌，即6月和7月，故选B 3．设，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D． 【试题来源】【新东方】高中数学20210527-010【2021】【高二下】 【答案】C 【分析】令，利用导数可得在单调递减，即可比较大小． 【解析】令，则， 当时，，即在单调递减， ， ，即．故选C． 【名师点睛】解决本题得关键是构造函数，根据导数求出单调性，利用单调性比较． 4．设函数在上存在最小值(其中为自然对数的底数，)，则函数的零点个数为 A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【试题来源】湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中2021届高三下学期仿真模拟考试 【答案】C 【分析】求出导函数，分类讨论得函数有最小值时的范围，然后由判别式判断零点个数． 【解析】 当时，在恒成立，所以在恒成立， 所以函数在上单调递增，没有最小值； 当时，令得，，且 0 0 极大值 极小值 当时，所以若有最小值，只需要 因为， 所以的判别式， 因此有两个零点．故选C． 5．若，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第九次考前适应性训练 【答案】D 【分析】设，利用导数求得，结合，得到，可判定A、B不正确；设，求得在上单调递增，得到，可判定D正确． 【解析】设，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减，所以， 所以一定存在，，且，使，即， 所以A、B不正确；设，则， 所以在上单调递增，所以，即，所以D正确．故选D． 【名师点睛】方法点拨：根据选项分别构造新函数和，利用导数求得函数的单调性与最值，进行判定是解答的关键． 6．已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【试题来源】河南省九师联盟2021届高三下学期五月联考 【答案】A 【分析】利用导数和二次函数分别研究各段上单调性和极值，画出图象，利用数形结合思想结合导数的几何意义即可求得． 【解析】当时，， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故在上单调递减，在上单调递增，其大致图象如图所示，由，得，令， 关于的方程有四个不同的实根 等价于函数，的图象有四个不同的交点． 当时，的图象在点处切线斜率为， 该切线过点时，满足， 即，解得， 所以的图象过点的切线斜率为； 的图象在点处的切线斜率为， 该切线过点时，，因为，解得， 所以的图象过点的切线斜率为．结合函数图象可知， 当的取值范围是时，的图象有四个不同的公共点．故选A． 【名师点睛】本题考查利用数形结合思想求方程有特定个数的实数根的条件，主要是要利用导数研究函数的单调性并注意利用导数研究切线的斜率． 7．若函数存在零点，则的取值范围为 A． B． C． D． 【试题来源】河南省2021届高三年级仿真模拟考试（二） 【答案】B 【分析】函数存在零点，即有根，构造同构的形式，利用换元法转化为，利用导数研究函数的值域即可． 【解析】方法一：函数存在零点，即有根． 因为，所以有根． 设，则，即 令，则， 当时，，所以在上单增； 当时，，所以在上单减； 所以当时，y有最小值1．要使有解，只需．故选B． 方法二：，因为，所以． 令，因为在上单调递增， 所以，即． 当时， ；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以． 要使代存在零点，只需，即．故选B． 【名师点睛】利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路： ①