2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系（课件）-2020-2021学年高一下学期数学人教A版必修2

必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 相交 （有一个公共点） 平行 （无公共点） 复习与准备：平面内两条直线的位置关系 相交 平行 a b o a b 那空间中两直线还有没有其他的位置关系呢？ 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 看一下生活中的例子： 立交桥中, 两条路线AB, CD A B C D 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 思考一 2.平移a,b两条直线，它们能完全重合吗？ a b 1.直线a,b相交吗？ 不相交 不平行 3. 能否找到一个平面, 使得a,b两条直线都在这个平面内？ 找不到一个平面使得直线a,b在 同一共面内！ 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 不同在 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 1.异面直线的定义: 定义中是指“任何”一个平面，是指找不到一个平面， 使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线。 注1 例子：如图,在长方体中， 判断AB与HG是不是异面直线？ AB与HG不是异面直线。 任何 A B G F H E D C 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 ①从有无公共点的角度： 有且仅有一个公共点---------相交直线 在同一平面内-------- 相交直线 ②从是否共面的角度 没有公共点--------- 平行直线 异面直线 不同在任何一个平面内---------异面直线 平行直线 若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行 空间两条直线的位置关系 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 异面直线的画法 说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点， 常借助一个或两个平面来衬托. α a b 图1 α β b a 图2 α a b 图3 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 这样表示a、b异面正确吗？ α β b a 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 1.平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线。 答：错。 例1.判断题1 b a 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 a与b是相交直线 a与b是平行直线 a与b是异面直线 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。 分别在两个平面内的两条直线一定异面。 判断题2 注2 在不同平面内的两条直线不一定异面。 a b M a b a b 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 1．正方体ABCD－A1B1C1D1中， 与对角线AC1异面的棱有(　　) A．3条　　　 B．4条 C．6条 D．8条 解析：　在正方体中与AC1异面的棱有BC、CD、BB1、DD1、C1D1、A1D1共6条． 答案：　C 2．如果两条直线a和b没有公共点，则a和b( 　) A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面 答案：　D A1 B1 C1 D1 A B C D 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 如图:AA1与CC1在同一平面吗? 直观上 理论上 BB1∥AA1,DD1∥AA1,BB1与DD1平行吗? A1 B1 C1 D1 A B C D 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2、平行直线 公理４　平行同一条直线的两条直线互相平行. b c a，b，c三条直线两两平行，可以记为a∥b∥c (空间、平面平行线的传递性) 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 a∥b c∥b a∥c 符号表示：设a，b，c为直线 a 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 例题示范 例2： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。 A B D E F G H C ∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理，FG ∥BD且FG = BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形 证明： 连结BD 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 例3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分别为AA1，CC1的中点． 求证：BF ED1. ∥ A1 B1 C1 D1 A B C D F E 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 三角形重心是三角形三边中线的交点,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 １ ３ 例4、如图，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ、Ｅ分 　　　别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心。 　　　求证：ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝　ＡＣ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｐ Ｍ Ｎ 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 3. 等角定理 提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢? 观察思考：如图,∠ADC与∠A1D1C1 、∠ADC与∠A1B1C1的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ A1 B1 C1 D1 A B C D 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 3. 等角定理 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 3. 等角定理 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 例5 A B C D A1 B1 C1 D1 M N 已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点． (1)求证：四边形MNA1C1是梯形； (2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1. 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [解题过程]　证明：(1) 如图，连接AC， 在△ACD中， ∵M、N分别是CD、AD的中点， ∴MN是三角形的中位线， ∴MN∥AC，MN＝AC. 由正方体的性质得： AC∥A1C1，AC＝A1C1. ∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1， 即MN≠A1C1， ∴四边形MNA1C1是梯形． 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 (2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1， ∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补． 而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM＝∠D1A1C1. 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任选一点O， 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， a′ b′ 则这两条线所成 的锐角θ（或直角）， θ 称为异面直线a，b所成的角。 ？ 任选 若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围： 平移 4. 异面直线所成的角 a b P O O a′ 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 3.在空间四边形ABCD中，已知E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝5，AD＝6，BC＝8，求AD与BC所成的角． 解析：　 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 例6 如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? (1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所求. Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 o (2) ∵BF∥AE ∴∠FBG（或其补角）为所求, Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 o A B G F H E D C 2 $