第二章 第二节 函数的单调性与最值-2022高考数学文科【金版新学案】大一轮复习讲义·高三总复习

大一轮复习讲义􀅰数学文科 考点分类突破 考点一 题组练透 １．B　[要使函数f(x)＝ １－４x２＋ln(３x－１) 有意义,则有 １－４x ２≥０, ３x－１＞０{ ⇒ １ ３ ＜x≤ １ ２ ． 故 选B．] ２．D　[因为－２x＋a＞０,所以x＜ a２ ,又因为 函数定义域为(－∞,１),所以 a２ ＝１ ,所以a ＝２．] ３．解析:　由 ２－|x|≠０, x２－１≥０,{ 得 x≠±２, x≤－１或x≥１．{ 所以函数的定义域为{x|x≤－１或x≥１且 x≠±２}． 答案:　{x|x≤－１或x≥１且x≠±２} ４．解析:　由题意得－８≤２x＋１≤１,解得－ ９２ ≤x≤０,由x＋２≠０,解得x≠－２,故函数的 定义域是 － ９２ ,－２[ ) ∪(－２,０]． 答案:　 － ９２ ,－２[ ) ∪(－２,０] 考点二 【例１】　解析:　(１)法一:(换元法)令２x＋１＝ t(t∈R),则x＝t－１２ ,所以f(t)＝４ t－１２( ) ２ －６×t－１２ ＋５＝t ２－５t＋９(t∈R),所以f(x) ＝x２－５x＋９(x∈R)． 法二:(配凑法)因为f(２x＋１)＝４x２－６x＋５ ＝(２x＋１)２－１０x＋４＝(２x＋１)２－５(２x＋ １)＋９,所以f(x)＝x２－５x＋９． 法三:(待定系数法)因为f(x)是二次函数, 所以设f(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０),则f(２x＋ １)＝a(２x＋１)２＋b(２x＋１)＋c＝４ax２＋(４a ＋２b)x＋a＋b＋c．因为f(２x＋１)＝４x２－６x ＋５,所以 ４a＝４, ４a＋２b＝－６, a＋b＋c＝５,{ 解得 a＝１, b＝－５, c＝９．{ 所以f(x)＝x２－５x＋９． (２)由于f x＋ １x( ) ＝x ２＋ １ x２ ＝ x＋ １x( ) ２ －２, 所以f(x)＝x２－２,x≥２或x≤－２, 故f(x)的解析式是f(x)＝x２－２(x≥２或x ≤－２)． (３)已知２f(x)＋f １x( ) ＝３x－１　①, 以 １ x 代替①中的x(x≠０),得 ２f １x( ) ＋f(x)＝ ３ x －１　② , ①×２－②,得３f(x)＝６x－ ３x －１ , 故f(x)＝２x－ １x － １ ３ (x≠０)． 变式训练 １．解析:　f(１－cosx)＝sin２x＝１－cos２x． 令１－cosx＝t,t∈[０,２],则cosx＝１－t, 所以f(t)＝１－(１－t)２＝２t－t２,t∈[０,２]． 答案:　２x－x２,x∈[０,２] ２．解析:　设f(x)＝ax＋b(a≠０), 则３f(x＋１)－２f(x－１)＝ax＋５a＋b, 所以ax＋５a＋b＝２x＋１７对任意实数x 都 成立, 所以 a＝２, ５a＋b＝１７,{ 解 得 a＝２, b＝７．{ 所 以f(x)＝ ２x＋７． 答案:　２x＋７ 考点三 【例２】　解析:　(１)因为f(１)＝１２＋２＝３,所 以f(f(１))＝f(３)＝３＋ １３－２＝４． 故选C． (２)当m≥２时,m２－１＝３,所以m＝２或m＝ －２(舍); 当０＜m＜２时,log２m＝３,所以m＝８(舍)． 所以m＝２．所以f( ５２ －m ) ＝f( １ ２ ) ＝ log２ １ ２ ＝－１． 答案:　(１)C　(２)－１ 【例３】　C　 [函 数f(x)＝ １＋x２,x≤０ １,x＞０{ 在 (－∞,０]上是减函数,在(０,＋∞)上函数值 保持 不 变,若 f(x－４)＞f(２x－３),则 x－４＜０ ２x－３≥０{ 或x－４＜２x－３≤０,解 得x∈ (－１,４),故选C．] 变式训练 １．D　[由题意知f(－１)＝２,因此f(f(－１)) ＝f(２)＝２＋１＝３．故选 D．] ２．C　[法一:当０＜a＜１时,a＋１＞１． 所以f(a)＝ a,f(a＋１)＝２(a＋１－１)＝２a． 由f(a)＝f(a＋１)得 a＝２a, 所以a＝ １４ ． 此时f( １a ) ＝f(４)＝２×(４－１)＝６． 当a≥１时,a＋１＞１, 所以f(a)＝２(a－１),f(a＋１)＝２(a＋１－１) ＝２a． 由f(a)＝f(a＋１)得２(a－１)＝２a,无解． 综上,f( １a ) ＝６．故选C． 法二:因为当０＜x＜１时,f(x)＝ x,为增 函数． 当x≥１时,f(x)＝２(x－１),为增函数． 又f(a)＝f(a＋１),所以 a＝２(a＋１－１), 所以a＝ １４ ． 所以f( １a ) ＝f(４)＝６．] ３．D　[当a＞０时,不等式a[f(a)－f(－a)]＞ ０可化为a２＋a－３a＞０,解得a＞２．当a＜０ 时,不等式a[f(a)－f(－a)]＞０ 可 化 为 －a２－２a＜０,解得a＜－２．综上所述,a的取 值范围为(－∞