第二章 第五节 指数函数-2022高考数学文科【金版新学案】大一轮复习讲义·高三总复习

复习讲义答案精析 由题意得 ４a＋２b＋c＝－１, a－b＋c＝－１, ４ac－b２ ４a ＝８ , ì î í ïï ïï 解得 a＝－４, b＝４, c＝７．{ 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－４x２ ＋４x＋７． 法二:(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－m)２＋n(a≠０)． 因为f(２)＝f(－１), 所以抛物线的对称轴为x＝２＋ (－１) ２ ＝ １ ２ ． 所以m＝ １２ ． 又根据题意函数有最大值８,所 以n＝８, 所以f(x)＝a x－ １２( ) ２ ＋８． 因为f(２)＝－１,所以a ２－ １２( ) ２ ＋８＝－１, 解得a＝－４, 所以f(x)＝－４ x－ １２( ) ２ ＋８＝ －４x２＋ ４x＋７． 法三:(利用零点式) 由已知f(x)＋１＝０的两根为x１＝２,x２＝－１, 故可设f(x)＋１＝a(x－２)(x＋１), 即f(x)＝ax２－ax－２a－１． 又函数有最大值８,即４a (－２a－１)－a２ ４a ＝８． 解得a＝－４或a＝０(舍去), 所以所求函数的解析式为f(x)＝－４x２＋４x ＋７． 变式训练 １．解析:　依题意可设f(x)＝a(x－２)２－１, 又其图象过点(０,１),所以４a－１＝１, 所以a＝ １２ ,所以f(x)＝ １２ (x－２)２－１＝ １ ２x ２－２x＋１． 答案:　f(x)＝ １２x ２－２x＋１ ２．解析:　设f(x)＝a x＋３２( ) ２ ＋４９(a≠０),方程 a x＋３２( ) ２ ＋４９＝０的两个根分别为x１,x２, 则|x１－x２|＝２ － ４９ a ＝７ ,所以a＝－４, 所以f(x)＝－４x２－１２x＋４０． 答案:　f(x)＝－４x２－１２x＋４０ 考点三 【例２】　解析:　图象与x轴交于两点,∴b２＞ ４ac,①正确;对称轴为直线x＝－１,∴－ b２a ＝－１,即２a－b＝０,②错误;f(－１)＞０, ∴a－b＋c＞０,③错误;开口向下,a＜０,b＝ ２a,∴５a＜２a＝b,④正确,故正确的结论是 ①④． 答案:　①④ 【例３】　解析:　(１)依题意a≠０,二次函数 f(x)＝ax２－２ax＋c图象的对称轴是直线x ＝１,因为函数f(x)在区间[０,１]上单调递 减,所以a＞０,即函数图象的开口向上,所以 f(０)＝f(２),则当f(m)≤f(０)时,有０≤m ≤２． ∴实数m 的取值范围为[０,２]． (２)f(x)＝(x＋a)２＋１－a２, 所以f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称 轴为x＝－a． ①当－a＜ １２ 即a＞－ １２ 时,f(x)max＝f(２) ＝４a＋５; ②当－a≥ １２ 即a≤－ １２ 时, f(x)max＝f(－１)＝２－２a． 综上,f(x)max＝ ４a＋５,a＞－ １２ , ２－２a,a≤－ １２ ． { 【例４】　解析:　因为f(x)＝x２＋２(a－２)x＋ ４,对称轴为x＝－(a－２), 对x∈[－３,１],f(x)＞０恒成立, 所以 －(a－２)＜－３, f(－３)＞０,{ 或 －３≤－(a－２)≤１, Δ＜０,{ 或 －(a－２)＞１, f(１)＞０,{ 解得a∈⌀或１≤a＜４或－ １２ ＜a＜１ , 所以实数a的取值范围为 － １２ ,４( ) ． 变式训练 １．D　[当a＝０时,f(x)＝－３x＋１在[－１, ＋∞)上递减,满足题意． 当a≠０时,f(x)的对称轴为x＝３－a２a , 由f(x)在[－１,＋∞)上递减知 a＜０, ３－a ２a ≤－１ ,{ 解得－３≤a＜０． 综上,a的取值范围为[－３,０]．] ２．解析:　 函数f(x)＝－x２＋２ax＋１－a＝ －(x－a)２＋a２－a＋１,对称轴方程为x＝a． 当a＜０时,f(x)max＝f(０)＝１－a, 所以１－a＝２,所以a＝－１． 当０≤a≤１时,f(x)max＝a２－a＋１, 所以a２－a＋１＝２,所以a２－a－１＝０, 所以a＝１± ５２ (舍去)． 当a＞１时,f(x)max＝f(１)＝a,所以a＝２． 综上可知,a＝－１或a＝２． 微专题系列７ 【典例】　解析:　①当x∈[－３,０]时,因为 f(x)≤|x|恒成立, 所以x２＋２x＋a－２≤－x,参变量分离得 a≤－x２－３x＋２, 令y＝－x２－３x＋２＝－ x＋ ３２( ) ２ ＋１７４ , 所以当x＝０或x＝－３时,y取得最小值为 ２,所以a≤２． ②当x∈(０,＋∞)时,因为f(x)≤|x|恒成 立,所以－x２＋２x－２a≤x,参变量分离得 a≥－ １２x ２＋ １２x , 令y＝ － １２x ２ ＋ １２x＝ － １ ２ x－ １ ２( ) ２ ＋ １８ , 所以当x＝ １２ 时,y取得最大值,为 １８ , 所以a≥ １８ ． 由①②可得 １８ ≤