第十五讲 直线的倾斜角与斜率-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第十五讲 直线的倾斜角与斜率 【学习目标】 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2．理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系。 3．掌握过两点的直线的斜率公式。 4．直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用。 5．掌握直线的方向向量和法向量。 【基础知识】 一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角． (2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0°． (3)倾斜角α的范围为[0°，180°)． 2．直线的倾斜角与斜率 一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上l两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则： (1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°． (2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°． (3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝． (4)直线的斜率：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率，当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝． (6)斜率与倾斜角的对应关系． 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率(范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 二、直线的方向向量 1．一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l． 2如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线． 3如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量． 4一般地，如果已知a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则： (1)当u＝0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°． (2)当u≠0时，直线l的斜率存在，且(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝． ，tan θ＝ 三、直线的法向量 一般地，如果表示非零向量υ的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量υ为l的一个法向量，记作υ⊥l． 【考点剖析】 考点一：直线的倾斜角 例1 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 【解析】 根据题意，画出图形，如图所示： 因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意． 通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．故选D． 【答案】 D 考点二：直线的斜率 例2 已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)． (1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围． 【解析】　(1)由斜率公式得kAB＝. ＝＝0，kBC＝ kAC＝. ＝ 倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 又∵tan 0°＝0， ∴AB的倾斜角为0°.tan 60°＝， ∴BC的倾斜角为60°.tan 30°＝， ∴AC的倾斜角为30°. (2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转， 当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时， 直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上， 此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为. 【答案】 (1) AB的倾斜角为0°.tan 60°＝，∴AC的倾斜角为30°. (2) ，∴BC的倾斜角为60°.tan 30°＝ 考点三：斜率公式的应用 例3 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． 【解析】　如图所示，由题意可知， kPA＝eq \f(4－（－1）,－3－2)＝－1， kPB＝eq \f(2－（－1）,3－2)＝3， 要使l与线段AB有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是 k≤－1或k≥3. 【答案】 k≤－1或k≥3. 考点四：求直线的方向向量或法向量 例4 已知直线l通过点A(1,2)，B