第十四讲 坐标法-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第十四讲 坐标法 【学习目标】 1．理解平面直角坐标系中的基本公式。 2．理解坐标法的数学思想并能掌握坐标法的应用。 【基础知识】 一、平面直角坐标系中的基本公式 1．数轴上两点间的距离公式： 如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1，记作A(x1))，且B(x2)，则向量|＝|x2－x1|．的坐标为x2－x1，数轴上两点之间的距离公式|AB|＝| 2．数轴上中点坐标公式： 如果M(x)是线段AB的中点，则．．数轴上的中点坐标公式x＝＝ 3．平面直角坐标系内两点之间的距离公式： A(x1，y1)，B(x2，y2)，。|＝＝(x2－x1，y2－y1)，d(A，B)＝| AB|＝| 4．平面直角坐标系内中点坐标公式： 已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，则有x＝. ，y＝ 二、坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法。 【考点剖析】 考点一：数轴上的点与实数间的关系 例1 (1)若点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x的取值范围； (2)试确定点A(a)，B(b)的位置关系． 【解析】　(1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧， 且点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间， 所以－2<x<3． (2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a，b的大小关系： 当a>b时，点A(a)位于点B(b)的右侧； 当a<b时，点A(a)位于点B(b)的左侧； 当a＝b时，点A(a)与点B(b)重合． 【答案】 (1) －2<x<3 (2)见解析 考点二：数轴上两点间的距离 例2 已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1,3，x．当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x． 【解析】　由题意知|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|， 则3(x＋1)＝x－3，① 或3(x＋1)＝－(x－3)．② 解①得x＝－3；解②得x＝0． 所以点P的坐标为－3或0． 【答案】 －3或0 考点三：两点间距离公式的应用 例3 已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)． (1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积． 【解析】　(1)∵|AB|＝，＝2 |AC|＝，＝2 又|BC|＝，＝2 ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． (2)△ABC的面积S△ABC＝＝26．×2×2|AC|·|AB|＝ 【答案】 (1) 等腰直角三角形 (2)26 考点四：中点公式的应用 例4 已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线交点为E(－3,4)，求另外两顶点C、D的坐标． 【解析】　设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点得： 得 设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点得 得 故C点坐标为(－10,6)，D点坐标为(－11,1)． 【答案】 C (－10,6)，D (－11,1) 考点五：坐标法的应用 例5 在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.则△ABC为(　　) A．等腰三角形　　　 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 【解析】 如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴， OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b＜d＜c)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|， 所以b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)， 又因为d－b≠0，所以－b－d＝c－d， 即－b＝c.所以|OB|＝|OC|. 又AO⊥BC，故△ABC为等腰三角形． 【答案】 A 【真题演练】 1．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是(　　) A．C(－3)和D(－4)　　　 B．C(3)和D(4) C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3) 【解析】 由数轴上点的坐标可知A正确． 【答案】 A 2．已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．4　　　　　 B．－4或2 C．－2 D．－2或4 【解析】 ＝5，解得a＝－2或4. 【答案】 D 3．给出以下几个命题，其中正确命题的个数是(　　) ①数轴上起点相同的向量方向相同； ②数轴上相等的向量，若起点不同，则终点一定不同； ③数轴上不相等的向量，终点一定不相同； ④零向量没有方向． A．1　 B．2 C．3　　 D．4 【解析】 起点相同的向量，它的终点