第十三讲 空间中的距离-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第十三讲 空间中的距离 【学习目标】 1．掌握向量长度计算公式。 2．会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离。 【基础知识】 一、空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长． 二、点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离． 三、点到平面的距离 1．点到平面的距离：给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面α的距离． 2．连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，垂线段最短． 四、相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 1．公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段． 2．相互平行的直线与平面之间的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝． 3．相互平行的平面与平面之间的距离：两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝． 【考点剖析】 考点一：空间两点间的距离 例1 如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<)． (1)求MN的长； (2)a为何值时，MN的长最小？ 【解析】　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)． 因为CM＝BN＝a(0<a<)，且四边形ABCD，ABEF为正方形， 所以M，，N 所以，＝ 所以|)．(0<a<|＝ (2)由(1)知MN＝．时，MN＝＋\f(1,2))，所以，当a＝ 即当a＝．时，MN的长最小，最小值为 【答案】 (1) ) (2) (0<a< 考点二：点到直线的距离 例2 已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 【解析】　以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)， 所以＝(－4,3,0)． 设E满足，且BE⊥A1C1，＝λ 则，⊥＝(4,0,1)＋λ(－4,3,0)＝(4－4λ，3λ，1)，又＋＝ ∴(4－4λ，3λ，1)·(－4,3,0)＝0，∴λ＝． ∴，＝ ∴|，＋12)＝＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,25)))|＝ ∴B到直线A1C1的距离为． 【答案】 考点三：点面距离 例3 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离． 【解析】　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 则G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)， ∴eq \o(GE,\s\up6(→))＝(4，－2，－2)，eq \o(GF,\s\up6(→))＝(2，－4，－2)，eq \o(BE,\s\up6(→))＝(0，－2,0)． 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(GE,\s\up6(→))·n＝0，,\o(GF,\s\up6(→))·n＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－z＝0，,x－2y－z＝0，)) ∴x＝－y，z＝－3y． 取y＝1，则n＝(－1,1，－3)． ∴点B到平面EFG的距离d＝eq \f(|\o(BE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(2,\r(11))＝eq \f(2\r(11),11)． 【答案】 eq \f(2\r(11),11) 考点四：线面平行、平行平面间的距离 例4 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1． (1)求证：BE∥平面DCF； (2)求点B到平面DCF的距离． 【解析】　(1)证明：由已知可得 ⇒平面ABE∥平面DFC， ∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF． (2)如图，以D为原点，建立空间直角坐标系． ∵AB∥CD，∠ABC＝∠