第十七讲 两条直线的位置关系-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第十七讲 两条直线的位置关系 【学习目标】 1．掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标。 2．掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别。 3．灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系。 【基础知识】 一、两条直线相交、平行与重合 1．代数方法判断 两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系，可以用方程组 的解进行判断(如下表所示) 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 无解 平行 无交点 A1B2－A2B1＝0而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0或(A2B2C2≠0)≠＝ 有唯一解 相交 有一个交点 A1B2－A2B1≠0或(A2B2≠0)≠ 有无数个解 重合 无数个交点 A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或(A2B2C2≠0)＝＝ 2．几何方法判断 (1)若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行。 (2)若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， ①l1与l2相交⇔k1≠k2； ②l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2； ③l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． 简记表： 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 3．向量方法判断 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量． (1)l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1． (2)l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1； l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ使得 3．经过两条直线交点的直线方程：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A12＋B12≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)， 则经过l1、l2交点的直线的方程为：A1x＋B1y＋C1＋k(A2x＋B2y＋C2)＝0(k为实数)． 二、两条直线的垂直 1．两条直线垂直的几何方法判断 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 2．两条直线垂直的代数方法判断 已知直线l1，l2的方程分别是l1∶A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0) (1)若A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2 (2)若eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0,A1C2－A2C1≠0))⇔l1∥l2 【考点剖析】 考点一：由斜率可以判断两条直线是否平行 例1 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1倾斜角为60°，l2经过M(1，eq \r(3))，N(－2，－2eq \r(3))； (3)l1平行于y轴，l2经过P(0，－2)，Q(0，5)； (4)l1经过E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过G(3，4)，H(2，3)． 【解析】　(1)由题意知．k1＝eq \f(5－1,－3－2)＝－eq \f(4,5)， k2＝eq \f(－7＋3,8－3)＝－eq \f(4,5)，所以l1与l2重合或平行． 需进一步研究A，B，C，D四点是否共线． kBC＝eq \f(5－（－3）,－3－3)＝－eq \f(4,3)≠－eq \f(4,5)， ∴A、B、C、D四点不共线．∴l1∥l2. (2)由题意知，k1＝tan60°＝eq \r(3)， k2＝eq \f(－2\r(3)－\r(3),－2－1)＝eq \r(3)， 因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合． (3)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在， 恰好是y轴，所以l1∥l2. (4)由题意知，k1＝eq \f(－1－1,－2－0)＝1，k2＝eq \f(3－4,2－3)＝1. 所以l1与l2重合或平行， 需进一步研究E、F、G、H四点是否共线． kFG＝eq \f(4－（－1）,3－（－2）)＝1， ∴E、F、G、H四点共线． ∴l1与l2重合． 【答案】 (1) l1∥l2 (2) l1∥l2