第十九讲 圆的标准方程-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第十九讲 圆的标准方程 【学习目标】 1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征。 2．能根据所给条件求圆的标准方程。 3．掌握点与圆的位置关系。 4．圆的标准方程的求解。 【基础知识】 一、空间中向量的坐标 1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径． 2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程． 3．以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 4．点与圆的位置关系 已知点P(x0，y0)，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下： 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d与r的大小关系 d＞r d＝r d＜r 方程表示 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 【考点剖析】 考点一：直接法求圆的标准方程 例1 根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在点C(－2,1)，且过点A(2，－2)； (2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上． 【解析】　(1)所求圆的半径r＝|CA|＝＝5． 又因为圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25． (2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)， 所以a＝4，b＝－6， 所以圆的半径r＝，＝ 从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13． 【答案】 (1) (x＋2)2＋(y－1)2＝25 (2) (x－2)2＋(y＋3)2＝13 考点二：待定系数法求圆的标准方程 例2 求下列各圆的标准方程． (1)圆心在y＝0上且过两点A(1,4)，B(3,2)； (2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)． 【解析】　(1)设圆心坐标为(a，b)，半径为r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ∵圆心在y＝0上，故b＝0， ∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2． 又∵该圆过A(1,4)，B(3,2)两点， ∴ 解得a＝－1，r2＝20． ∴所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20． (2)设所求圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由条件知 解得 故所求圆的标准方程为 (x＋1)2＋(y＋2)2＝10． 【答案】 (1) (x＋1)2＋y2＝20 (2) (x＋1)2＋(y＋2)2＝10 考点三：圆的标准方程的实际应用 例3 已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？ 【解析】　以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则O(0,0)，A(6，－2)． 设圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)． 将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10， ∴圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100． 当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)． 将A′(x0，－3)代入圆的标准方程，求得x0＝， ∴水面下降1米，水面宽为2x0＝2≈14．28(米)． 【答案】 14．28米 考点四：与圆有关的最值问题 例4 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3．求的最大值和最小值． 【解析】　原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆， 设＝k，即y＝kx， 当直线y＝kx与圆相切时， 斜率k取最大值和最小值，此时，＝ 解得k＝±． 故．，最小值为－的最大值为 【答案】 最大值为，最小值为－ 考点五：与圆有关的对称问题 例5 已知一个圆C：(x＋2)2＋(y－6)2＝1和一条直线l：3x－4y＋5＝0，求圆关于直线l对称的圆的方程． 【解析】　圆C：(x＋2)2＋(y－6)2＝1的圆心为C(－2，6)， 设所求圆C′的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1， 半径与圆C半径相等，其圆心为C′(a，b)． ∵点C和点C′关于直线l：3x－4y＋5＝0对称， ∴点C和点C′的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,2)，\f(b＋6,2)))在直线l上． ∴3·eq \f(a－2,2)－4·eq \f(b＋6,2)＋5＝0， 即3a－4b－20＝0.① ∵CC′⊥l，∴eq \f(b－6,a＋2)·eq \f(3,4)＝－1， 即4a＋3b－10＝0.② 联立①②，解得a＝4，b＝－2. 故所求圆C′的方程为(x－4)2＋(y＋2)2＝1. 【答案】 (x－4)2＋(y＋2)