第十讲 空间中的平面与空间向量-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第十讲 空间中的平面与空间向量 【学习目标】 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量。 2．会用平面的法向量证明平行与垂直。 3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题。 【基础知识】 一、平面的法向量 1．平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α． 2．平面的法向量的性质 (1)如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量． (2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行． (3)如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．一定与向量n垂直，即n· 3．如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α，n⊥v⇔l∥α，或l⊂α． 4．两个平面平行或垂直的判断：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 二、三垂线定理及其逆定理 1．射影：(1)已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与平面α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影． (2)图形F上所有的点在平面α内的射影所成的集合F′，叫做图形F在平面α内的射影． 2．三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． 3．三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 【考点剖析】 考点一：求平面的法向量 例1 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系， 求：平面ACE的一个法向量． 【解析】　∵在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝， ∴以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴， AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，C(1，，0)， D(0，，，0)，P(0,0,1)，E ，0)，＝(1，，＝ 设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)， 则，3)．，得n＝(3，－取y＝－ ∴平面ACE的一个法向量为n＝(3，－，3)． 【答案】 (3，－，3) 考点二：利用法向量证明空间中的位置关系 例2 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝eq \r(3)，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1． 【证明】　方法一 　如图，以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，eq \r(3))，C1(0,1，eq \r(3))． ∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)， ∴eq \o(AD,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0，eq \r(3))，eq \o(BC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)， ∴eq \o(AD,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， eq \o(AA1,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝0×(－2)＋0×2＋eq \r(3)×0＝0， ∴eq \o(AD,\s\up6(→))⊥eq \o(BC,\s\up6(→))，eq \o(AA1,\s\up6(→))⊥eq \o(BC,\s\up6(→))， ∴BC⊥AD，BC⊥AA1． 又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD． 又BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1． 方法二　同方法一建系后，得eq \o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0，eq \r(3))， eq \o(AD,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \o(BC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq \o(CC1,\s\up6(→))＝(0，－1，eq \r(3))． 设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n1·\o(AA1,\s\up6(→))＝0，,n1