第十二讲 二面角-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第十二讲 二面角 【学习目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角。 2．掌握求二面角的方法、步骤。 【基础知识】 一、二面角及其度量 1．半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． 2．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α­l­β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A­l­B，二面角的范围为[0，π]． 3．二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α­l­β的平面角． 4．直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． 二、用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，设α与β所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉．当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n1，n2〉． 【考点剖析】 考点一：用定义法求二面角 例1 如图所示，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若△PAB是边长为2的正三角形，且CO⊥AB，求二面角P­AC­B的正弦值． 【解析】　如图所示，取AC的中点D，连接OD，PD， ∵PO⊥底面，∴PO⊥AC， ∵OA＝OC，D为AC的中点， ∴OD⊥AC， 又PO∩OD＝O， ∴AC⊥平面POD，则AC⊥PD， ∴∠PDO为二面角P­AC­B的平面角． ∵△PAB是边长为2的正三角形，CO⊥AB， ∴PO＝，，OA＝OC＝1，OD＝ 则PD＝．)＝ ∴sin∠PDO＝，＝＝ ∴二面角P­AC­B的正弦值为． 【答案】 考点二：用向量法求二面角 例2　在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角． 【解析】　方法一　如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz． 设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC，交于点O，取AD中点F，连接EF，EO，FO，则C(b,0,0)，B(0，a,0)．∵eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \o(CD,\s\up6(→))， ∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)， ∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，－\f(a,2)，\f(a,2)))，Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，0，0))， eq \o(OE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(b,0,0)． ∵eq \o(OE,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝0， ∴eq \o(OE,\s\up6(→))⊥eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)，0))，eq \o(OF,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝0． ∴eq \o(OF,\s\up6(→))⊥eq \o(AC,\s\up6(→))． ∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角． cos〈eq \o(OE,\s\up6(→))，eq \o(OF,\s\up6(→))〉＝eq \f(\o(OE,\s\up6(→))·\o(OF,\s\up6(→)),|\o(OE,\s\up6(→))||\o(OF,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(2),2)． ∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°． 方法二　建系如方法一， ∵PA⊥平面ABCD， ∴eq \o(AP,\s\up6(→))＝(0,0，a)为平面ABCD的法向量， eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(b,0,0)． 设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,m·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))