第十八讲 点到直线的距离-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）（解析版）

第十八讲 点到直线的距离 【学习目标】 1．掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题。 2．会求两条平行直线之间的距离。 3．点到直线的距离公式的推导。 【基础知识】 一、点到直线的距离公式 1．点到直线的距离：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度． 2．点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 二、两条平行直线之间的距离公式 1．两平行直线间的距离：两条平行直线之间的距离：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． 2．两平行直线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝． 【考点剖析】 考点一：点到直线的距离 例1 (1)求点P(2，－3)到下列直线的距离． ①y＝eq \f(4,3)x＋eq \f(1,3)；②3y＝4；③x＝3． (2)求过点M(－1，2)，且与点A(2，3)，B(－4，5)距离相等的直线l的方程． 【解析】　①y＝eq \f(4,3)x＋eq \f(1,3)可化为4x－3y＋1＝0， 点P(2，－3)到该直线的距离为 eq \f(|4×2－3×（－3）＋1|,\r(42＋（－3）2))＝eq \f(18,5)； ②3y＝4可化为3y－4＝0， 由点到直线的距离公式得eq \f(|－3×3－4|,\r(02＋32))＝eq \f(13,3)； ③x＝3可化为x－3＝0， 由点到直线的距离公式得eq \f(|2－3|,1)＝1． (2)解法1：当过点M(－1，2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1， 恰好与A(2，3)，B(－4，5)两点距离相等， 故x＝－1满足题意， 当过点M(－1，2)的直线l的斜率存在时， 设l的方程为y－2＝k(x＋1)， 即kx－y＋k＋2＝0． 由点A(2，3)与B(－4，5)到直线l的距离相等， 得eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，解得k＝－eq \f(1,3)， 此时l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)， 即x＋3y－5＝0． 综上所述直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0． 解法2：由题意得l∥AB或l过AB的中点， 当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB， 直线l的斜率为kl，则kAB＝kl＝eq \f(5－3,－4－2)＝－eq \f(1,3)， 此时直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)， 即x＋3y－5＝0． 当l过AB的中点(－1，4)时，直线l的方程为x＝－1． 综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0． 【答案】 (1) ①eq \f(18,5)；②eq \f(13,3)；③1 (2) x＝－1或x＋3y－5＝0 考点二：两条平行线间的距离 例2　求下列直线方程： (1)与直线l∶3x－4y－20＝0平行且距离为3的直线； (2)与两条平行线l1∶3x＋2y－6＝0和l2∶6x＋4y－3＝0等距离的直线． 【解析】　(1)设所求直线方程为3x－4y＋C＝0(C∈R)． 由题设eq \f(|C＋20|,\r(32＋42))＝3， 解得C＝－35或C＝－5． 故所求直线方程为3x－4y－35＝0或3x－4y－5＝0． (2)∵l1∶3x＋2y－6＝0， ∴l2∶3x＋2y－eq \f(3,2)＝0． ∵l3∥l1∥l2且l3夹在l1、l2之间到l1、l2距离相等． 设l3∶3x＋2y＋C＝0，则eq \f(|C＋6|,\r(32＋22))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C＋\f(3,2))),\r(32＋22))， 得C＝－eq \f(15,4)． ∴l3方程为12x＋8y－15＝0． 【答案】 (1)3x－4y－35＝0或3x－4y－5＝0 (2) 12x＋8y－15＝0 考点三：距离公式的综合应用 例3　在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大． 【解析】　如图所示，设点B关于直线l的对称点B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1， 即3·＝－1． 所以a＋3b－12＝0．① 又由于线段BB′的中点坐标为－1＝0．即3a－b－6＝0，②－，且在直线l上，所以3× 解①②得a＝3，b＝3，所以B′(3,3)．于是AB′的方程为，即2x＋y－9＝0．＝ 所以由解得 即直线l与AB′的交点坐标为(2,5)． 所以点P(2,5)为所求． 【答案】 (2,5) 考点四：要求三角形某条边上的高可转化为求点到直线的距离 例4　两条互相平行的直线分别过A(6，2)，B(