第七讲 空间向量基本定理-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第七讲 空间向量基本定理 【学习目标】 1．理解空间向量基本定理。 2．运用空间向量基本定理解决一些几何问题。 3．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念。 【基础知识】 一、共面向量定理 1．共线向量基本定理：两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝λb. 2．平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． 3．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb. 二、空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0． 2．相关概念 (1)线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式． (2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底． (3)基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量． (4)分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 【考点剖析】 考点一：向量共线问题 例1 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且．求证：E，F，B三点共线． ＝，F在对角线A1C上，且＝2 【证明】　设＝c．＝b，＝a， ∵，＝，＝2 ∴，＝，＝ ∴) －(＝b，＝＝ ＝) －＋( ＝c．b－a＋ ∴．c＝b－a－＝－＝ 又b－c，b－c＋a＝a－＝－＋＋＝ ∴．＝ ∴E，F，B三点共线． 考点二：空间向量共面问题 例2 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq \f(1,3)BD，AN＝eq \f(1,3)AE. 求证：向量eq \o(MN,\s\up6(→))，eq \o(CD,\s\up6(→))，eq \o(DE,\s\up6(→))共面． 【证明】　因为M在BD上，且BM＝eq \f(1,3)BD， 所以eq \o(MB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→)). 同理eq \o(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up6(→)). 所以eq \o(MN,\s\up6(→))＝eq \o(MB,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(AN,\s\up6(→)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＋eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up6(→)))) ＝eq \f(2,3) eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up6(→)). 又eq \o(CD,\s\up6(→))与eq \o(DE,\s\up6(→))不共线，根据向量共面的充要条件可知eq \o(MN,\s\up6(→))，eq \o(CD,\s\up6(→))，eq \o(DE,\s\up6(→))共面． 考点三：基底的判断及应用 例3 (1)若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． (2)如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知．，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量＝b，＝a， 【解析】　(1)假设a＋b，b＋c，c＋a共面． 则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c． ∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面． ∴此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面． ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底． (2)＋＝＋＝ ＝) －(＋＋)＝＋(＋ ＝b＋(c－b) a＋ ＝b＋bc－