第九讲 空间中的点、直线与空间向量-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第九讲 空间中的点、直线与空间向量 【学习目标】 1．了解空间中的点与空间向量的关系。 2．理解直线的方向向量。 3．掌握利用空间向量求空间两直线所成的角的方法。 4．掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法。 5．理解公垂线段的概念并会求其长度。 【基础知识】 一、空间中的点与空间向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量通常称为点P的位置向量．唯一确定，此时， 二、空间中的直线与空间向量 1．空间中的直线与空间向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l． (1)如果A、B是直线l上两个不同的点，则v＝，即为直线l的一个方向向量． (2)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合． 2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2． (2)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2． (3)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β． 三、空间中两条直线所成的角 1．空间中两条直线所成的角 设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sin θ＝sin〈v1，v2〉，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|． 2．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角： 设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2⇔v1⊥v2，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|． 3．求两直线所成的角应注意的问题： 在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝eq \f(v1·v2,|v1||v2|)．但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角． 四、异面直线与空间向量 设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量． 1．若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行． 2．若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为相交或异面． 3．若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，不共面，则l1与l2异面．不共面．若v1，v2， 4．公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 【考点剖析】 考点一：空间中点的位置确定 例1 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)． (1)若)，求P点的坐标； －(＝ (2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标． 【解析】　(1)＝(－3，－1,5)，＝(－1,1,5)， (2,2,0)＝(1,1,0)，)＝－(＝ ∴P点的坐标为(1,1,0)． (2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2， 知．＝ 设点P的坐标为(x，y，z)， 则＝(2－x,5－y,5－z)，＝(x－3，y－4，z)， 故(x－3，y－4，z)＝(2－x,5－y,5－z)， 即得 因此P点的坐标为． 【答案】 (1) (1,1,0) (2) 考点二：利用向量法求异面直线的夹角 例2 如图所示，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°． ①求向量的坐标； ②求的夹角的余弦值． 与 【解析】　①如图过D作DE⊥BC于E， 则DE＝CD·sin 30°＝， OE＝OB－BDcos 60°＝1－，＝ ∴D的坐标为， 又∵C(0,1,0)，∴．＝ ②依题设有A点坐标为 ， ∴＝(0,2,0)，，＝ 则的夹角的余弦值：与 cos〈．＝－〉＝， 【答案】 － 考点三：利用空间向量处理平行问题 例3 (1)已知向量a＝(2,4,10)，b＝(3，x,15)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________． (2)如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：FC1∥平面ADE． 【解析】 (1)∵l1∥