第二十讲 圆的一般方程-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第二十讲 圆的一般方程 【学习目标】 1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径。 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题。 3．灵活选取恰当的方法求圆的方程。 【基础知识】 1．圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为．，半径长为 3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为半径的圆为圆心，以 4．二元二次方程表示圆的条件 (1)x2和y2的系数相等． (2)缺xy项，即含xy项的系数为0． (3)各项系数之间满足关系式． 5．点与圆的位置关系：点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系是： P在圆内⇔xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0， P在圆上⇔xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0， P在圆外⇔xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0， 6．点与圆上任意一点连线，线段长度的范围： ⊙C的圆心为C，半径为r，P为平面上⊙C外一点，Q为⊙C上任一点，记|PQ|＝d，则|PC|－r≤d≤|PC|＋r，当P为平面上⊙C内的点时，r－|PC|≤d≤r＋|PC|． 【考点剖析】 考点一：圆的一般方程的理解 例1 已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)所表示的图形是圆． (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． 【解析】　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2 ＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1， 由r2＝－7t2＋6t＋1＞0得－＜t＜1． (2)∵r＝＋\f(16,7))，＝ ∵，∈ ∴当t＝．时，圆的面积最大，rmax＝ 所对应的圆的方程为．＝＋ (3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0，点P恒在圆内， ∴8t2－6t＜0，∴0＜t＜． 【答案】 (1) － (3) 0＜t＜＝＋＜t＜1 (2) 考点二：求圆的一般方程 例2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4eq \r(3)，求圆的方程． 【解析】　方法一(待定系数法)： 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q的坐标分别代入上式， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＋20＝0，　①,D－3E－F－10＝0，　②)) 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，　③ 由已知|y1－y2|＝4eq \r(3)，其中y1，y2是方程③的两根． ∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48．　④ 联立①②④解得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.)) 故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0． 方法二(几何法)： 由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0． ∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为C(a，a－1)． 又圆C的半径长r＝|CP|＝eq \r((a－4)2＋(a＋1)2)．　① 由已知圆C截y轴所得的线段长为4eq \r(3)，而圆心C到y轴的距离为|a|． ∴r2＝a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),2)))2，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5， ∴r1＝eq \r(13)，r2＝eq \r(37)． 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37． 【答案】 x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0 考点三：求动点轨迹方程问题 例3 已知动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半． (1)求动点M的轨迹方程； (2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹． 【解析】　(1)设动点M(x，y)为轨迹