第八讲 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第八讲 空间向量的坐标与空间直角坐标系 【学习目标】 1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标。 2．掌握空间向量的坐标运算。 3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系。 4．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用。 【基础知识】 一、空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量． 二、空间向量的运算与坐标的关系 假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论： 1．a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； 2．λa＝(λx1，λy1，λz1)； 3．若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)； 4．a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； 5．|a|＝；＝ 6．当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝．＝ 三、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 1．当a≠0时，a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔．＝＝，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔ 2．a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 四、空间直角坐标系 1．在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面． 3．z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． 4．空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直． 5．空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)． 6．三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}． 五、空间向量坐标的应用 已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)。 1．＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．的坐标表示： 2．A、B两点距离公式：AB＝|. |＝ 3．中点坐标公式：设AB的中点为M。则M点的坐标为()，， 【考点剖析】 考点一：空间向量的坐标运算 例1 已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)． 【解析】　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. 【答案】 见解析 考点二：空间中点的坐标确定 例2 在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标． 【解析】　建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标，y坐标均为0，而E为DD1的中点， 故其坐标为． 由F作FM⊥AD于M点、FN⊥DC于N点，由平面几何知FM＝，，FN＝ 则F点坐标为． 点G在y轴上，其x、z坐标均为0，又GD＝．，故G点坐标为 由H作HK⊥CG于K点，由于H为C1G的中点，故HK＝．，CK＝ ∴DK＝．，故H点坐标为 【答案】 E，H，G，F 考点三：空间向量的平行与垂直 例3 已知空间三点A(－2,