第一讲 集合及其表示方法-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第一讲 集合及其表示方法 【学习目标】 1．了解集合与元素的概念。 2．理解元素与集合的关系，掌握数学中一些常见的集合及其记法。 3．理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题。 4．掌握用列举法表示有限集。 5．理解描述法格式及其适用情况，并会用描述法表示相关集合。 6．会用区间表示集合。 7．学会在集合的不同表示法中作出选择和转换。 【基础知识】 一、元素与集合的概念 1．集合：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集)，通常用英文大写字母A，B，C，…表示。 2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示。 3．元素的特性 ①确定性：集合的元素必须是确定的。 ②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。 ③无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关。 二、元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A中的元素 a∈A a属于A 不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于A 注意事项： (1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果． (2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如“R∈0”是错误的． 三、空集 1．定义：不含任何元素的集合． 2．符号：∅． 四、集合的分类及常用数集 1．集合的分类 (1)集合 (2)空集是有限集． 2．常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 五、集合的表示方法 1．列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法． 注意事项： (1)应用列举法表示集合时应关注以下四点： ①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的； ③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物． (2)a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素． 2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法． 注意事项： (1)应用描述法表示集合时应关注以下三点：①写清楚集合中元素的符号，如数或点等；②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；③不能出现未被说明的字母． (2)注意区分以下四个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R；②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y＝x2＋1的图像上的点组成的集合；④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1. 五、区间的概念及表示 1．区间的定义及表示 设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 注意事项：区间是集合的又一种表示形式，对于区间的理解应注意： (1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}． (2)注意开区间(a，b)与点(a，b)在具体情景中的区别． (3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心圈的区别． (4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示． 【考点剖析】 考点一：集合的概念 例1 2021年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由． (1)你所在班级中全体同学； (2)班级中比较高的同学； (3)班级中身高超过178 cm的同学； (4)班级中比较胖的同学