第五讲 全称量词命题与存在量词命题的否定-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第五讲 全称量词命题与存在量词命题的否定 【学习目标】 1.能正确写出一个命题的否定，并判断其真假． 2．理解含有一个量词的命题的否定的意义． 3．会对含有一个量词的命题进行否定． 4．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 【基础知识】 一、命题的否定 1．命题的否定：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p ”，读作“非p”或“p的否定”． 2．命题的真假与命题的否定的真假：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然． 3．常见的命题的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 二、全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词的否定：全称量词命题p：∀x∈M，q(x)。它的否定﹁p：∃x∈M，¬q(x)。 2．存在量词的否定：存在量词命题p：∃x∈M，p(x)。它的否定﹁p：∀x∈M，¬p(x)。 3．结论：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。 4．全称量词命题与存在量词命题的否定判断真假： (1)要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在M中找到一个x，使得q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立． (2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立． 【考点剖析】 考点一：命题的否定 例1 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：y＝sin x是周期函数； (2)p：实数的绝对值都大于0； (3)p：菱形的对角线垂直平分； (4)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0. 【解析】　(1) ¬p ：y＝sin x不是周期函数．假命题． (2) ¬p：实数的绝对值不都大于零．真命题． (3) ¬p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题． (4) ¬p：若xy＝0，则x≠0且y≠0. 假命题． 【答案】 见解析 考点二：全称量词命题的否定 例2 写出下列全称量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)对所有正数x，eq \r(x)>x＋1； (2)∀x∈R，x3＋1≠0； (3)所有被5整除的整数都是奇数； (3)所有的正方形都是矩形． 【解析】　(1)该命题的否定：存在正数x，eq \r(x)≤x＋1，真命题． (2)该命题的否定：∃x∈R，x3＋1＝0，真命题． (3)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数，真命题． (4)该命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． 【答案】 见解析 考点三：存在量词命题的否定 例3 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． ①有些实数的绝对值是正数； ②某些平行四边形是菱形； ③∃x∈R，x2＋1<0； ④∃x，y∈Z，使得eq \r(2)x＋y＝3. 【解析】　①该命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”．也即“所有实数的绝对值都不是正数”．假命题. ②该命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．假命题. ③该命题的否定：“不存在x∈R，x2＋1<0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”．真命题. ④该命题的否定：“∀x，y∈Z，eq \r(2)x＋y≠3”．假命题. 【答案】　见解析 考点四：命题的否定含有参数的应用 例4 已知命题p：∃x∈(1,3)，x－a≥0；若¬p是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(3，＋∞) C．(－∞，3] D．[3，＋∞) (2)已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________． 【解析】　 ∃x∈(1,3)，x－a≥0的否定为∀x∈(1,3)，x－a<0， 因为¬p为真命题，所以x<a在x∈(1,3)上恒成立． 故a≥3. 【答案】　 D　 【真题演练】 1．有以下命题：①没有男生爱踢足球；②所有男生都不爱踢足球；③至少有一个男生不爱踢足球；④所有女生都爱踢足球．其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是(　　) A．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　D．④ 【解析】 所有男生都爱踢足球的否定为“不是所有男生都爱踢足球”，即“至少有一个男生不爱踢足球”． 【答案】 C 2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”的否定是(　　) A．不存在x∈R，x3－x2＋2≥0 B．存在x∉R，x3－x2＋2≥0 C．存在x∈R，x3－x2＋2≥0 D．存在x∈R，x3－x2＋2<0 【解析】 命题“对任意的x∈R，x