第四讲 命题与量词-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第四讲 命题与量词 【学习目标】 1．理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量词、存在量词命题的定义。 2．掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法。 【基础知识】 一、命题 概念：可供真假判断的陈述语句是命题，而且， 判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。 二、量词 1．全称量词和全称量词命题 (1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个” “一切”“ 任给”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，并用符号“∀”表示． (2)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． (3)注意事项： ①全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称量词命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，都使p(x)成立，则全称量词命题为真命题．若能举出反例，则为假命题． ②有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”． 2．存在量词和存在量词命题 (1)存在量词：“存在”“有”“至少有一个” “有些”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，并用符号“∃”表示． (2)存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在集合M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． (3)注意事项：存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着存在量词命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使p(x)成立，则存在量词命题为真命题．若不存在，则为假命题． 3．全称量词命题与存在量词命题的区别 (1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”． (2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”． 4．判断全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点 (1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词为“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”． (2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”． (3)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词为“有的”等． 【考点剖析】 考点一：命题的真假判断 例1 判断下列命题的真假： (1)奇数不能被2整除； (2)实数的平方是正数； (3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2. 【解析】　(1)奇数都不能被2整除，故(1)是真命题． (2)0的平方还是0，不是正数，故(2)是假命题． (3)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝1，b＝1，故(3)是真命题． (4)当x＝4，y＝5时，y＝x＋1也成立，故(4)是假命题． 【答案】 (1) 真命题 (2) 假命题 (3) 是真命题 (4) 假命题 考点二：全称量词命题和存在量词命题的判断 例2 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． (4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； (5)方程3x－2y＝10有整数解． 【解析】　 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． (2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题． (5)可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题． 【答案】(1) 全称量词命题 (2) 全称量词命题 (3) 全称量词命题 (4) 存在量词命题 (5) 存在量词命题 考点三：全称量词命题和存在量词命题的改写 例3 用全称量词或存在量词表示下列语句． (1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立； (2)当x为有理数时，x＋1也是有理数； x2＋ (3)方程3x－2y＝10有整数解． 【解析】　(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立． (2)对任意有理数x, x＋1是有理数．x2＋ (3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立． 【答案】 见解析 考点四：全称量词命题与存在量词命题真假判断 例4 试判断下面命题的真假． (1)∀x∈R，x2＋2＞0; (2)∀x∈