第十一讲 不等式的解集-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第十一讲 不等式的解集 【学习目标】 1．会求解一元一次不等式及一元一次不等式组的解集。 2．能借助绝对值的几何意义求解含绝对值的不等式的解集。 【基础知识】 一、不等式的解集与不等式组的解集 1．不等式的解集：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集． 2．不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 3．注意事项：若不等式中所含不等式解集的交集为∅时，则不等式组的解集为∅. 一、绝对值不等式 1．绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 2．数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式： (1)距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|a－b|. (2)中点坐标公式：A(a)，B(b)，线段AB的中点M对应的数为x，则x＝. 3．常用的含有绝对值不等式的解集： 不等式 |x|＜a (a＞0) |x|＞a(a＞0) 解集 {x|－a＜x＜a} {x|x＞a或x＜－a} 【考点剖析】 考点一：不等式组的解法 例1 解下列不等式组： (1) (2) 【解析】　(1)解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2. 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅. (2)解不等式①，得x＞－，，解不等式②，得x≤ 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知不等式组的解集为. 【答案】 (1) ∅ (1) 考点二：含有一个绝对值不等式的解法 例2 解下列不等式： (1)|2x＋5|<7； (2)|2x＋5|>7＋x； (3)2≤|x－2|≤4. 【解析】　(1)原不等式等价于－7<2x＋5<7， 所以－12<2x<2， 所以－6<x<1， 所以原不等式的解集为(－6,1)． (2)由不等式|2x＋5|>7＋x， 可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)， 所以x>2或x<－4， 所以原不等式的解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)． (3)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|x－2|≥2，　①,|x－2|≤4.　②)) 由①得x－2≤－2或x－2≥2， 所以x≤0或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4，所以－2≤x≤6. 所以原不等式的解集为[－2,0]∪[4,6]． 【答案】 (1) (－6,1) (2) (－∞，－4)∪(2，＋∞) (3) [－2,0]∪[4,6] 考点三：含有两个绝对值号的不等式的解法 例3 解下列不等式： (1)|x－1|>|2x－3|； (2)|x－1|＋|x－2|>2. 【解析】　(1)因为|x－1|>|2x－3|， 所以(x－1)2>(2x－3)2，即(2x－3)2－(x－1)2<0， 所以(2x－3＋x－1)(2x－3－x＋1)<0， 即(3x－4)(x－2)<0，所以eq \f(4,3)<x<2. 即原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)). (2)原不等式⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤1，,1－x＋2－x>2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1<x<2，,x－1＋2－x>2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥2，,x－1＋x－2>2)) ⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤1，,x<\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1<x<2，,－1>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥2，,x>\f(5,2)))⇔x<eq \f(1,2)或x>eq \f(5,2)， 所以原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)). 【答案】 (1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) (2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)) 考点四：数轴上的基本公式及应用 例4 已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)． (1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？ (2)在线段AB上是否