第十五讲 函数的单调性-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第十五讲 函数的单调性 【学习目标】 1．了解函数单调性的概念，会用定义判断或证明函数的单调性。 2．会借助图像和定义求函数的单调区间。 3．会根据函数的单调性求参数或解参数不等式。 4．理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能借助图像求函数的最大(小)值。 5．会借助函数的单调性求最值。 6．能利用函数的最值解决有关的简单实际问题。 【基础知识】 一、单调性的定义与证明 1．增函数、减函数的概念： 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D： (1)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)，如图(1)所示； (2)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)，如图(2)所示． 两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)． 2．函数的单调性与单调区间： 如果函数y＝f(x)在M上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在M上具有单调性(当M为区间时，称M为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)． 3．单调区间的表示：一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝ 4．单调性的两个特性 (1)“整体”性：单调函数在同一个单调区间上具有的性质是相同的． (2)“局部”性：指的是一个函数在定义域不同区间内单调性可以不同；即使相同，单调区间与定义域也不一定相同． 二、函数的平均变化率 1．直线的斜率： (1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为 (2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度． 2．平均变化率与函数单调性： 若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，，则＝ (1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是＞0在I上恒成立； (2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立． 当x1≠x2时，称为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．＝ 3．平均变化率的物理意义： (1)把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均速度，即. ＝ (2)把速度v看成时间t的函数v＝v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度，即. ＝ 三、函数的最大值与最小值 1．函数的最大值和最小值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D： (1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点，记为fmax＝f(x0)。 (2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点，记为fmin＝f(x0)。 2．利用单调性求最值的常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．　 (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．　 【考点剖析】 考点一：用定义法证明(判断)函数的单调性 例1 已知函数f(x)＝eq \f(1,x2－1). (1)求f(x)的定义域． (2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． 【解析】　(1)由x2－1≠0得x≠±1， 故函数f(x)＝eq \f(1,x2－1)的定义域为{x|x≠±1}． (2)函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数，理由如下： ∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,x\o\al(2,1)－1)－eq \f(1,x\o\al(2,2)－1)＝eq \f(x\o\al(2,2)－1－x\o\al(2,1)－1,x\o\al(2,1)－1x\o\al